連續與中間值定理

連續的定義

早上 6 點氣溫 18 度，中午 12 點 30 度，其間必有某個時刻恰為 25 度，因為氣溫不會瞬間跳過 25 度。手機的訊號格數或停車費則不能如此推論，因為它們的值會跳躍。

這個差別在於連續（continuous）。「一筆畫完不必提筆」是有用的直覺，但推論需要精確的定義，可由前兩課的極限給出。

定義：$f$ 在 $x = a$ 連續，是指

$$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$$

這個等式包含三個條件，缺少任一個即不連續：

1. $f(a)$ 有定義
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ 存在
3. 兩者相等

因此連續函數的極限可以直接代入，這是上一課「代入」合法的理由。

間斷的類型

不成立的條件決定了間斷的類型：

可去間斷之所以稱為可去，是因為重新定義該點的值即可消除間斷：令 $f(1) = 2$，$\frac{x^2-1}{x-1}$ 成為連續函數 $x+1$。跳躍與無窮間斷無論如何更改該點的值都無法消除。$\sin\frac{1}{x}$ 在 0 這種由振盪造成的間斷也無法消除。

常見函數的連續性

判斷連續性不必每次回到定義。多項式、有理函數、根號、指數、對數、三角函數與反三角函數，在各自的定義域內都連續。連續函數的和、差、積、商（分母不為 0）與合成仍然連續，所以絕大部分可寫出的算式都連續。

由合成的連續性，極限可以移入函數內：若 $f$ 在 $\lim_{x \to a} g(x)$ 連續，則

$$\lim_{x \to a} f(g(x)) = f\left(\lim_{x \to a} g(x)\right)$$

須注意「在定義域內」這幾個字。$\frac{1}{x}$ 是連續函數，因為它定義域內的每一點都連續；$x = 0$ 不在定義域內，若討論它在 0 是否連續，依第一個條件答案是不連續。提到「不連續的 $\frac{1}{x}$」時須確認所指的範圍。

在區間上連續是指區間內每一點都連續。閉區間 $[a, b]$ 的兩個端點只考慮單側：在 $a$ 要求 $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$，在 $b$ 要求 $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$。

連續也不代表平滑：$\lvert x \rvert$ 在 0 連續，但有尖點，下一課將說明它在該點不可微分。

中間值定理

中間值定理（Intermediate Value Theorem）：若 $f$ 在閉區間 $[a, b]$ 上連續，$f(a) \neq f(b)$，而且 $k$ 介於 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間，則存在 $c \in (a, b)$ 使得 $f(c) = k$。

幾何上的意義是：連續的曲線從一個高度延伸到另一個高度，必定經過其間的每個高度。氣溫的例子即為此定理的應用。

須注意此定理只保證存在：

• 它未指出 $c$ 的位置，也未指出個數
• 它只談 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間的 $k$。其他的 $k$ 也可能有解，但定理未保證
• 若移除連續的條件，結論可能不成立

此定理看似理所當然，實際上依賴實數沒有缺口的性質。波爾查諾（Bernard Bolzano）在 1817 年的論文中給出了以反覆對半為基礎的證明。

二分法

中間值定理有一個實用的特例：若 $f$ 連續且 $f(a)$、$f(b)$ 一正一負，取 $k = 0$，則 $f$ 在 $(a, b)$ 內必定有根。

由此得到一種求根的方法，稱為二分法（bisection method）：

1. 計算中點 $m = \frac{a+b}{2}$ 與 $f(m)$
2. 若 $f(a)$ 和 $f(m)$ 正負相反，根在 $[a, m]$；否則根在 $[m, b]$（$f(m) = 0$ 時已找到根）
3. 對新的區間重複

每一步都維持「兩端正負相反」，所以定理在每一步都保證區間內有根，而區間寬度每次減半：$n$ 步之後為 $\frac{b-a}{2^n}$。

例如 $f(x) = x^3-x-2$，$f(1) = -2$、$f(2) = 4$，所以 $[1, 2]$ 內有根。

二分法的優點與限制

程式執行 10 輪後，寬度為 $\frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024} \approx 0.00098$，根位於 $1.5205$ 到 $1.5215$ 之間。

二分法的優點是可靠：只要 $f$ 連續、起點兩端正負相反，就必定收斂。缺點是速度慢，每增加一位小數需要 3 到 4 步。此外它有以下限制：

• 起點須自行尋找，$f(a)$、$f(b)$ 須正負相反
• $x^2$ 在 $[-1, 2]$ 上有根 $x = 0$，但兩端都是正的，無從判斷根在哪一半
• 有多個根時只會找到其中一個
• 若函數不連續，正負相反不保證有根：$\frac{1}{x}$ 在 $[-1, 2]$ 上二分法會收斂到 0，該處是間斷點，不是根

第 12 課的牛頓法以切線求根，通常收斂快得多，但也可能失敗。

重點整理

• $f$ 在 $a$ 連續：$f(a)$ 有定義、極限存在、兩者相等
• 間斷的類型：可去（極限存在）、跳躍（左右不等）、無窮（趨向 $\pm\infty$）
• 常見的函數在定義域內都連續；連續函數的極限可以直接代入
• 中間值定理：$[a, b]$ 上連續，$k$ 介於 $f(a)$、$f(b)$ 之間，就存在 $c \in (a, b)$ 使 $f(c) = k$；只保證存在，連續的條件不能拿掉
• 二分法靠兩端正負相反逐步縮小區間，$n$ 步後寬度是 $\frac{b-a}{2^n}$

下一課介紹導數：以極限由割線得到切線。更完整的文字說明見優微積分讀本的連續與間斷。