連鎖律與隱函數微分

連鎖律的概念

三個齒輪相互嚙合：第一個轉 1 圈，第二個轉 3 圈；第二個轉 1 圈，第三個轉 2 圈。因此第一個轉 1 圈時，第三個轉 $3 \times 2 = 6$ 圈。

合成函數亦然。$y = \sin(x^2)$ 可拆成兩層：內層 $u = x^2$，外層 $y = \sin u$。$x$ 微小變動時，$u$ 的變動量約為 $x$ 的 $\frac{du}{dx}$ 倍；$u$ 微小變動時，$y$ 的變動量約為 $u$ 的 $\frac{dy}{du}$ 倍。兩個倍率相乘：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$

此即連鎖律（chain rule）。以下先以數值檢驗。

連鎖律的條件與記法

定理。 若 $g$ 在 $x$ 可微分，$f$ 在 $u = g(x)$ 可微分，則 $f(g(x))$ 在 $x$ 可微分，且

$$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

推導的想法是將差商拆開：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$

$\Delta x \to 0$ 時 $\Delta u \to 0$（因為 $g$ 連續），兩個比值分別趨近 $f'(u)$ 和 $g'(x)$。此處有一個漏洞：$\Delta u$ 可能恰為 0，此時不能相除。嚴格的證明以另一種寫法處理此情況，結論不變。

$\frac{dy}{dx}$ 並非真正的分數。 連鎖律形式上如同約去 $du$，此記法相當實用，但它是差商的極限，不是兩數相除。以約分的直覺推導二階導數會產生錯誤。例如 $y = u^2$、$u = x^2$，即 $y = x^4$，$\frac{d^2y}{dx^2} = 12x^2$；然而 $\frac{d^2y}{du^2}\left(\frac{du}{dx}\right)^2 = 2 \cdot 4x^2 = 8x^2$，兩者不相等。

最常見的錯誤是漏乘內層導數。 $\sin(x^2)$ 的導數不是 $\cos(x^2)$，而是 $2x\cos(x^2)$。檢查方法有二：拆成兩層寫出，或確認內層是否為 $x$，若不是則須多乘內層導數。另一個錯誤是將外層導數代入 $x$ 而非內層，例如寫成 $2x\cos x$。

函數可以有多層合成，每一層的導數都須相乘。例如 $\sin^2(3x)$ 的外層是平方，中間是 $\sin$，內層是 $3x$：

$$\frac{d}{dx}\sin^2(3x) = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3$$

$$= 6\sin(3x)\cos(3x)$$

隱函數微分

圓 $x^2 + y^2 = 25$ 不是函數的圖形：同一個 $x$ 對應兩個 $y$。然而圓上每一點都有切線，除了 $(\pm 5, 0)$ 之外斜率都存在。

一種做法是解出 $y$：上半圓 $y = \sqrt{25 - x^2}$，下半圓 $y = -\sqrt{25 - x^2}$，分別微分。但有些曲線無法解出或求解繁複。隱函數微分的做法是：不解 $y$，直接將 $y$ 視為 $x$ 的函數，對等式兩邊微分。

$x^2$ 微分是 $2x$。$y^2$ 是合成函數（外層平方，內層是 $y(x)$），由連鎖律得到 $2y \cdot \frac{dy}{dx}$。常數 25 微分是 0：

$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$

解出斜率：

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \quad (y \ne 0)$$

在 $(3, 4)$ 斜率是 $-\frac{3}{4}$；和上半圓的算式對照，$\frac{d}{dx}\sqrt{25-x^2} = \frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}$，代入 $x = 3$ 也是 $-\frac{3}{4}$。答案同時含 $x$ 和 $y$ 是正常的：同一個 $x$ 在上半圓與下半圓的斜率不同，須由 $y$ 分辨。

一般而言，曲線寫成 $F(x, y) = 0$，令 $F_x$ 為將 $y$ 視為常數對 $x$ 微分的結果，$F_y$ 為將 $x$ 視為常數對 $y$ 微分的結果，同樣的步驟得到

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$$

公式失效的條件。 公式在分母 $F_y = 0$ 時失效。隱函數定理指出：若 $F$ 的這兩個偏導數連續、$F(a, b) = 0$ 且 $F_y(a, b) \ne 0$，則在 $(a, b)$ 附近，曲線確實是某個可微分函數 $y = g(x)$ 的圖形，斜率即上述公式。$F_y = 0$ 時此保證不成立，通常有兩種情況：

• $F_x \ne 0$：切線垂直。圓上的 $(\pm 5, 0)$ 屬於此情形，附近同一個 $x$ 對應兩個 $y$，$y$ 不能寫成 $x$ 的函數。
• $F_x = 0$ 也成立：公式變成 $\frac{0}{0}$。下面第三條曲線的原點屬於此類點，兩段曲線在該處交叉。

重點整理

• 連鎖律：$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$，$g$ 在 $x$、$f$ 在 $g(x)$ 都要可微分
• 外層導數須代入內層，再乘內層導數；內層不是 $x$ 時須多乘
• $\frac{dy}{dx}$ 是極限，不是分數，高階導數不能依約分的直覺計算
• 隱函數微分：將 $y$ 視為 $x$ 的函數，兩邊微分，$y^2$ 會多出 $\frac{dy}{dx}$
• $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$ 在 $F_y = 0$ 時失效：切線垂直，或 $F_x = F_y = 0$ 的奇異點（例如曲線交叉、尖點）

下一課以這兩個工具推導 $e^x$、$\ln x$ 與反三角函數的導數。