指數、對數與反三角函數的導數

指數函數的導數

銀行存款的利息與目前的本金成比例，本金越多，每年增加越多。指數函數具有這種關係。由定義計算 $a^x$ 的導數（$a > 0$）：

$$\frac{a^{x+h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h}$$

$a^x$ 中的 $x$ 與 $h$ 無關，可以提出。因此若 $M(a) = \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ 這個極限存在，導數為

$$\frac{d}{dx} a^x = M(a) \cdot a^x$$

$a^x$ 的導數是其本身乘上一個常數。此常數 $M(a)$ 只與底數有關，與 $x$ 無關；它也恰為 $a^x$ 在 $x = 0$ 的切線斜率。

每個底數都有對應的 $M(a)$。由此產生一個問題：是否存在某個底數使 $M(a)$ 恰為 1。

自然指數與自然對數

所找到的底數約為 2.718，即 $e$。第 2 課以複利定義了 $e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$，兩種說法指的是同一個數：$n$ 很大時 $e^{1/n} \approx 1 + \frac{1}{n}$，亦即 $\frac{e^{1/n} - 1}{1/n} \approx 1$，這正是 $h = \frac{1}{n}$ 時的差商。此處僅說明想法，並非嚴格證明。因此

$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$$

$\ln x$ 的導數以反函數推導。$y = \ln x$ 表示 $e^y = x$（$x > 0$）。對 $x$ 微分，左邊使用連鎖律：

$$e^y \frac{dy}{dx} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$$

此處先假設 $\ln x$ 可微分。一般的結論是反函數定理：$f$ 在一個區間上連續且一對一，在 $a$ 可微分且 $f'(a) \ne 0$，$b = f(a)$，則反函數在 $b$ 可微分，

$$(f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}$$

在圖形上，反函數的圖是原圖對 $y = x$ 鏡射，斜率成為倒數。

$\ln\lvert x \rvert$：$\ln x$ 只在 $x > 0$ 有定義，但 $\frac{1}{x}$ 在 $x < 0$ 也有定義。$x < 0$ 時 $\ln\lvert x \rvert = \ln(-x)$，由連鎖律

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$$

所以 $(\ln\lvert x \rvert)' = \frac{1}{x}$ 對所有 $x \ne 0$ 成立。

其他底數皆換成 $e$。$a > 0$ 時 $a^x = e^{x \ln a}$，$a \ne 1$ 時 $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$：

$$\frac{d}{dx} a^x = a^x \ln a, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x \ln a}$$

比較第一式與開頭的 $M(a) a^x$，可知 $M(a) = \ln a$：先前測得 $a = 2$ 的比例即 $\ln 2 \approx 0.693$。

同樣的方法可完成第 8 課留下的冪次法則：$x > 0$、$r$ 是任意實數時，$x^r = e^{r \ln x}$，所以 $(x^r)' = e^{r \ln x} \cdot \frac{r}{x} = r x^{r-1}$。

對數微分法

$y = x^x$（$x > 0$）的底數與指數都在變動，既不是冪次函數，也不是指數函數。兩個常見的錯誤：

• 當成冪次函數：$x \cdot x^{x-1} = x^x$。冪次法則的指數必須是常數。
• 當成指數函數：$x^x \ln x$。指數函數的底數必須是常數。

正確的做法是先取對數，將指數移至前方，再微分：

$$\ln y = x \ln x$$

兩邊對 $x$ 微分，左邊用連鎖律，右邊用乘積法則：

$$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + 1$$

兩邊乘上 $y = x^x$：

$$\frac{dy}{dx} = x^x(\ln x + 1)$$

$x = 2$ 時正確答案是 $4(\ln 2 + 1) \approx 6.77$，兩個錯誤答案分別是 $4$ 和 $4 \ln 2 \approx 2.77$。正確答案恰為兩個錯誤答案的和，因為兩個位置的 $x$ 都在變動，兩者的貢獻都須計入。

此方法也適用於多個因子相乘除的函數，取對數之後乘除變為加減。例如 $x > 0$ 時的 $y = \frac{x^2\sqrt{x+1}}{x+3}$：

$$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{x+3}$$

兩邊再乘上 $y$ 即得結果。

反三角函數的導數

$y = \arcsin x$ 的定義是：$\sin y = x$，而且 $y$ 限制在 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。對 $x$ 微分：

$$\cos y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y}$$

須將 $\cos y$ 換成 $x$。$\cos^2 y = 1 - x^2$，且在此範圍內 $\cos y \ge 0$，所以取正的根號，這是限制值域的作用：

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1)$$

$x = \pm 1$ 時函數有定義，但切線垂直，導數不存在。

同樣的步驟得到另外兩個。$\arctan$ 使用 $\sec^2 y = 1 + \tan^2 y = 1 + x^2$，所以對所有實數都成立：

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (\lvert x \rvert < 1)$$

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}$$

重點整理

• $(a^x)' = a^x \ln a$，$a = e$ 時比例恰為 1，所以 $(e^x)' = e^x$
• $(\ln\lvert x \rvert)' = \frac{1}{x}$（$x \ne 0$），$(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$
• 反函數的斜率是倒數：$(f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$，$f'(a) \ne 0$
• $x^x$ 既非冪次也非指數，使用對數微分法：$(x^x)' = x^x(\ln x + 1)$
• $(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$、$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$

至此，常見的基本函數都能微分。之後幾課介紹導數的應用：相關變率、線性近似、極值。