微分法則

基本微分法則

第 6 課以定義計算了 $x^2$ 的導數：展開、約分、取極限。若函數換成 $f(x) = x^5 \sin x$，展開這一步便無法進行。

本課建立幾條法則，每條都先以定義證明，之後不必再回到定義。以下都假設相關函數在所討論的點可微分。

常數倍與和差直接來自極限的運算法則：

$$(c f)' = c f', \qquad (f \pm g)' = f' \pm g'$$

以和為例，$\frac{(f+g)(x+h)-(f+g)(x)}{h} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$，兩個差商的極限都存在，所以和的極限等於極限的和。

冪次法則：$n$ 是正整數時，以二項式展開

$$(x+h)^n = x^n + n x^{n-1} h + \cdots + h^n$$

省略的部分從 $\binom{n}{2} x^{n-2} h^2$ 開始，每一項都至少含 $h^2$。減去 $x^n$ 再除以 $h$，保留 $n x^{n-1}$，其餘每一項仍含至少一個 $h$，取極限後全部消失：

$$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$$

$n$ 不是正整數時公式仍然成立（$x > 0$ 時對所有實數 $n$ 都成立）：負整數於本課稍後以商法則推導，任意實數於第 10 課說明。例如 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 的導數是 $\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$x = 0$ 時分母是 0，該處不可微分。

乘積的導數

直覺上可能推測 $(uv)' = u'v'$。以最簡單的例子檢驗：$u = x$、$v = x$，則 $uv = x^2$，導數是 $2x$；但 $u'v' = 1 \cdot 1 = 1$，可知此推測不正確。

將 $u \cdot v$ 視為長方形的面積。長為 $u$、寬為 $v$，當 $x$ 增加微小量 $\Delta x$，長增加 $\Delta u$，寬增加 $\Delta v$。增加的面積分為三塊：右側長條、上方長條，以及角落的小塊。

乘積法則與商法則

將圖上的三塊寫成算式：

$$\Delta(uv) = v\,\Delta u + u\,\Delta v + \Delta u\,\Delta v$$

兩邊除以 $\Delta x$：

$$\frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = v\,\frac{\Delta u}{\Delta x} + u\,\frac{\Delta v}{\Delta x} + \Delta u\,\frac{\Delta v}{\Delta x}$$

令 $\Delta x \to 0$。前兩項分別趨近 $v u'$ 和 $u v'$。第三項的 $\frac{\Delta v}{\Delta x}$ 趨近 $v'$，而 $u$ 可微分所以連續，$\Delta u \to 0$，整項趨近 $0 \cdot v' = 0$。所以

$$(uv)' = u'v + uv'$$

須注意小角消失的原因：並非因為它很小而「可以忽略」，而是除以 $\Delta x$ 之後仍趨近 0。兩條長條也很小，但除以 $\Delta x$ 之後趨近 $v u'$、$u v'$，一般不為 0。

商法則可由乘積法則得到。設 $Q = \frac{u}{v}$（$v \ne 0$），則 $u = Qv$，兩邊微分得 $u' = Q'v + Qv'$，解出 $Q'$：

$$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' - \frac{u}{v}v'}{v} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$

此推導先假設 $Q$ 可微分；嚴格的證明須從差商出發，結果相同。分子的順序不能交換，否則正負號相反。

以商法則處理負整數的冪次：$n$ 是正整數時

$$\frac{d}{dx} x^{-n} = \frac{d}{dx} \frac{1}{x^n}$$

$$= \frac{0 \cdot x^n - 1 \cdot n x^{n-1}}{x^{2n}} = -n x^{-n-1}$$

與冪次法則的形式相同。

三角函數的導數

由定義計算 $\sin x$ 的導數，以和角公式拆開差商：

$$\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$$

$$= \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$$

$h \to 0$ 時 $x$ 固定，所以只需求兩個極限。第一個是第 4 課的 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$。第二個乘上 $\cos h + 1$ 以化簡：

$$\frac{\cos h - 1}{h} = \frac{\cos^2 h - 1}{h(\cos h + 1)}$$

$$= -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \to -1 \cdot \frac{0}{2} = 0$$

所以 $(\sin x)' = \cos x$。同樣的方法得到 $(\cos x)' = -\sin x$，其餘四個由商法則求得：

這些公式在 $x$ 以弧度為單位時才成立，因為 $\frac{\sin h}{h} \to 1$ 只有在弧度下才成立。若 $x$ 以度為單位，$\sin(x^\circ)$ 的導數會多出 $\frac{\pi}{180}$。

重點整理

• $(cf)' = cf'$，$(f \pm g)' = f' \pm g'$
• $(x^n)' = n x^{n-1}$：正整數由二項式展開，負整數由商法則
• $(uv)' = u'v + uv'$，不是 $u'v'$；$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$，$v \ne 0$
• $(\sin x)' = \cos x$、$(\cos x)' = -\sin x$，$x$ 須以弧度為單位

下一課介紹合成函數的微分，例如 $\sin(x^2)$：連鎖律。更完整的文字說明見優微積分讀本的微分法則。