相關變率

梯子滑動與相關變率

一把 5 公尺長的梯子靠在牆上，梯底以每秒 0.5 公尺的速率向外移動，直到梯子滑倒。本課討論梯底速率固定時，梯頂的速率是否也固定。

直覺上，梯子是剛性的桿，兩端的移動量應當相近。請觀察下面的動畫，並注意藍色的 $y$ 曲線：其斜率即為梯頂的速度。

這類問題稱為相關變率（related rates）：幾個量由一條關係式相連，其中一個量的變化率已知，要求另一個量的變化率。

相關變率的解題步驟

梯子並非等速滑下：梯底等速時，梯頂的速率持續增加。此結果可以直接計算。

第一步：將所有變動的量視為時間的函數。 令 $x(t)$ 是梯底到牆的距離，$y(t)$ 是梯頂的高度，梯子長度 5 是常數。

第二步：寫出任何時刻都成立的關係式。 畢氏定理：

$$x(t)^2 + y(t)^2 = 25$$

此等式對每個 $t$ 都成立，所以兩邊視為 $t$ 的函數時是同一個函數，導數也相同。

第三步：兩邊對 $t$ 微分。 $x^2$ 是合成函數（外層平方、內層 $x(t)$），須用連鎖律：

$$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$$

第四步：最後代入該時刻的數值。 $\frac{dx}{dt} = 0.5$ 時：

負號表示 $y$ 遞減，梯頂向下移動。$x$ 越大、$y$ 越小，比值 $\frac{x}{y}$ 越大，所以梯頂的速率持續增加。$x = y$ 時兩端速率相等，即練習中找到的時刻。

順序不能交換。 若一開始就把 $x = 3$、$y = 4$ 代入關係式，得到 $9 + 16 = 25$，式中已無變動的量，對 $t$ 微分只會得到 $0 = 0$，無法求出變化率。數值只屬於某一瞬間，關係式須先描述所有時刻，才能微分。

模型的限制。 公式指出 $y \to 0^+$ 時 $\lvert \frac{dy}{dt} \rvert \to \infty$，但真實的梯頂速率不會無限增大。問題出在假設：$x^2 + y^2 = 25$ 預設梯頂始終貼著牆。牆只能推、不能拉，當梯頂所需的向下加速度超過重力所能提供時，梯頂便離開牆面。在不計摩擦、將梯子視為均勻細桿、梯底維持等速的條件下估算，這組數字對應的梯頂約在離地 0.75 公尺時離開牆面；此後這條關係式不再成立。因此在這個模型裡，趨於無限大是假設失效的訊號，不是物理事實。

氣球與影子的關係式

解法相同，差別僅在關係式的來源。

氣球。 以每秒 100 立方公分的速率打氣，求球形氣球半徑的增加率。幾何公式 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ 兩邊都是 $t$ 的函數，對 $t$ 微分：

$$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$$

注意 $4\pi r^2$ 恰為球的表面積：注入的體積分布在整個表面上，表面積越大，半徑增加越慢。$r = 5$ 時 $\frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi \cdot 25} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318$ cm/s；$r = 10$ 時降為 $\frac{1}{4\pi} \approx 0.080$ cm/s，半徑加倍，變化率變成四分之一。

影子。 路燈高 6 公尺，身高 1.8 公尺的人以每秒 1.5 公尺的速率走離路燈。令 $x$ 是人到燈柱底部的距離，$s$ 是影子長度，路燈、頭頂、影子頂端在同一條直線上，由相似三角形：

$$\frac{s}{1.8} = \frac{x+s}{6} \quad\Rightarrow\quad 4.2\,s = 1.8\,x$$

這是線性關係，對 $t$ 微分得 $\frac{ds}{dt} = \frac{1.8}{4.2}\frac{dx}{dt} = \frac{3}{7} \cdot 1.5 \approx 0.643$ m/s，與人的位置無關。影子頂端的位置是 $x + s$，所以其速度是兩個變化率之和：$1.5 + 0.643 \approx 2.143$ m/s，大於人的步行速率。

以下兩個情境置於同一個練習，以上方的按鈕切換。

常見錯誤

• 過早代入數值：只有對所有時刻都成立的關係式才能微分，該時刻的數值應放到最後代入。常數（梯子長度、燈高）可以一開始就代入。
• 漏掉連鎖律：$\frac{d}{dt}(r^3) = 3r^2\frac{dr}{dt}$，不是 $3r^2$。對 $t$ 微分時，每一個變動的量都要乘上自身的變化率。
• 忽略符號的意義：遞減的量變化率為負。梯頂下降時 $\frac{dy}{dt} < 0$，作答時應明確寫出「以 0.375 m/s 下滑」。
• 混淆定值與變數：影子問題中人的身高是定值，距離才是變數。
• 遺漏單位：變化率的單位是「量的單位／時間的單位」，檢查單位常能發現錯誤。

重點整理

• 相關變率：幾個量都是時間的函數，由一條關係式相連
• 四步驟：命名變數 → 寫出每個時刻都成立的關係式 → 對 $t$ 微分（連鎖律）→ 最後代入該時刻的數值
• 梯子的例子：$\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt}$，梯底等速時梯頂的速率持續增加
• 趨於無限大通常代表模型的假設失效，須回頭檢視假設

下一課討論導數的另一項應用：將曲線在一點附近視為直線，用於估算數值與解方程式。文字版的解題步驟見優微積分讀本的相關變率。