相關變率
一個量變，牽動另一個量怎麼變。
氣球半徑長多快？梯子頂端滑多快？相關變率問題的核心只有一句話：兩個量被一條方程式綁在一起，對時間微分之後，它們的變化率也被綁在一起。
解題五步驟
- 畫圖、設變數——每個變數都是時間 $t$ 的函數；
- 寫出變數之間恆成立的關係式（幾何公式、畢氏定理、相似三角形……）；
- 兩邊對 $t$ 微分（連鎖律上場：$r$ 的函數微分後要乘 $\dfrac{dr}{dt}$）；
- 代入「此刻」的數值；
- 解出要求的變化率，帶單位作答。
鐵則：先微分、再代值。先把數字代進關係式，變數就被凍結成常數，微分只會得到 $0$。
例一：吹氣球
球形氣球以 $\dfrac{dV}{dt}=100\ \mathrm{cm^3/s}$ 充氣。半徑 $r=5\ \mathrm{cm}$ 的瞬間，半徑增加多快？
關係式 $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$，對 $t$ 微分：
$$\frac{dV}{dt}=4\pi r^2\frac{dr}{dt}$$
代入此刻數值：$100=4\pi(5)^2\dfrac{dr}{dt}=100\pi\dfrac{dr}{dt}$，得
$$\frac{dr}{dt}=\frac{1}{\pi}\approx 0.318\ \mathrm{cm/s}$$
同樣的打氣速度，氣球越大、半徑長得越慢——因為表面積 $4\pi r^2$ 變大，同量的氣要攤在更大的面上。
例二：滑落的梯子
$10$ 公尺長的梯子靠牆，底端以 $1\ \mathrm{m/s}$ 滑離牆。當底端距牆 $6$ 公尺（此時頂端高 $8$ 公尺）時，頂端下滑多快？
畢氏定理 $x^2+y^2=100$，對 $t$ 微分：
$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0$$
代入 $x=6$、$y=8$、$\dfrac{dx}{dt}=1$：$6(1)+8\dfrac{dy}{dt}=0$，得
$$\frac{dy}{dt}=-\frac{3}{4}\ \mathrm{m/s}$$
負號的意思是 $y$ 在減少——頂端正在下滑，物理意義藏在符號裡。
常見錯誤
- 先代值再微分（最常見，直接全毀）；
- 微分時忘了連鎖律的 $\dfrac{dr}{dt}$、$\dfrac{dy}{dt}$；
- 單位不一致（公尺配公分、秒配分鐘）；
- 丟掉負號，或說不出負號的物理意義。
相關變率就是連鎖律的物理化身：把每個變數想成「隨時間演出的演員」，關係式是他們共同的劇本——對 $t$ 微分，就是問每個演員此刻的動作有多快。