羅必達法則

分子分母趨近 0 的不定型

第 3 課介紹過 $\frac{\sin x}{x}$ 在 $x \to 0$ 時趨近 1。分子分母都趨近 0，代入得到 $\frac{0}{0}$。這個形式本身沒有確定的值，因為結果取決於兩個趨近 0 的量的相對速度：$\frac{x}{x}$ 趨近 1，$\frac{x^2}{x}$ 趨近 0，$\frac{x}{x^2}$ 的絕對值趨近無窮大，代入後全都是 $\frac{0}{0}$。這稱為不定型。

第 12 課說明過，可微分的曲線放大之後幾乎是直線。若 $f(a) = g(a) = 0$，在 $a$ 附近

$$f(x) \approx f'(a)(x-a)$$

$$g(x) \approx g'(a)(x-a)$$

相除時 $(x-a)$ 消去，只要 $g'(a) \ne 0$，

$$\frac{f(x)}{g(x)} \approx \frac{f'(a)}{g'(a)}$$

兩個函數在 $a$ 附近都近似直線，比值即為兩條直線的斜率比。

羅必達法則與條件

羅必達法則（L'Hôpital's rule）。 設 $f$、$g$ 在包含 $a$ 的開區間上可微分（$a$ 這一點可以除外），而且在 $a$ 附近 $g'(x) \ne 0$（$x \ne a$）。若

1. $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，或是兩者的絕對值都趨近無窮大（$\frac{\infty}{\infty}$），而且
2. $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或是 $\pm\infty$），

則

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

$a$ 換成單側極限或 $\pm\infty$ 也成立。上面局部線性的說明只涵蓋 $f'(a)$、$g'(a)$ 存在而且 $g'(a) \ne 0$ 的情況；一般的證明須用柯西均值定理，此處不展開。

注意這是分別微分分子和分母，不是商法則。

三種常見的誤用：

1. 不是不定型。 $\lim_{x \to 0} \frac{x+1}{x+2}$ 直接代入是 $\frac{1}{2}$。誤用羅必達法則會得到 $\frac{1}{1} = 1$，答案錯誤。第一步始終是先代入，確認是 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$。

2. 導數比的極限不存在，不代表原極限不存在。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}$：分子分母都趨近無窮大，導數比是 $1 + \cos x$，持續振盪，沒有極限。但原式等於 $1 + \frac{\sin x}{x}$，由夾擠定理極限是 1。法則只保證「導數比有極限時，原式也有」，不保證反方向。

3. 使用後形成循環。 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$：分別微分得到 $\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$，再微分一次又回到 $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$，持續循環。此時改用代數：$x > 0$ 時原式等於 $\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}$，極限是 1。

名稱的由來。 這條法則最早印在羅必達侯爵 1696 年出版的微積分教科書裡，但規則來自約翰．白努利（Johann Bernoulli）：兩人有付費交換新發現的約定，白努利在 1694 年的信中寫過這條規則。

其他不定型

羅必達法則只處理分式，其他形式須先改寫。

$0 \cdot \infty$：改寫成分式。 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$，$x \to 0$ 而 $\ln x \to -\infty$。寫成 $\frac{\ln x}{1/x}$，這是 $\frac{\infty}{\infty}$ 的形式：

$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$$

$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$：先取對數。 設 $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$，$x \to \infty$ 時底數趨近 1、指數趨近無窮大。取對數：

$$\ln y = x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln(1 + 1/x)}{1/x}$$

這是 $\frac{0}{0}$。令 $t = \frac{1}{x}$，$\lim_{t \to 0^+} \frac{\ln(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{1/(1+t)}{1} = 1$。所以 $\ln y \to 1$，因為 $e^x$ 連續，$y \to e^1 = e$。最後一步常被遺漏：算出的是 $\ln y$ 的極限，須再轉回 $y$。此即第 2 課複利定義的 $e$。

以相同方法：$\lim_{x \to 0^+} x^x$，$\ln y = x \ln x \to 0$（上文已計算），所以 $y \to e^0 = 1$。

$\infty - \infty$：通分或提出公因式，化為分式後再處理。

並非所有特殊形式都是不定型。$\frac{0}{\infty}$ 的極限為 0，$\frac{1}{0^+}$ 趨近 $+\infty$，都不需要也不可以使用羅必達法則。

成長速度的排序

羅必達法則最常見的用途之一是比較函數的成長速度。$n$ 是正整數時，連續使用 $n$ 次：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{n x^{n-1}}{e^x} = \cdots = \lim_{x \to \infty} \frac{n!}{e^x} = 0$$

無論 $n$ 多大，$e^x$ 終究超過 $x^n$。另一邊，對任意 $p > 0$：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^p} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{p x^{p-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{p x^p} = 0$$

無論 $p$ 多小，$x^p$ 終究超過 $\ln x$。所以 $x$ 很大時

$$\ln x \ll x^p \ll e^x$$

「終究」可能對應很大的自變數值。$x^5$ 何時小於 $e^x$ 須解方程式，以下由程式計算。

重點整理

• $\frac{0}{0}$ 是不定型：在 $a$ 附近兩個函數都近似直線，比值為斜率比
• 羅必達法則：為不定型且導數比的極限存在時，兩個極限才相等；分別微分，不是商法則
• 使用前先代入確認；導數比沒有極限時須改用其他方法，不能斷定原極限不存在
• $0 \cdot \infty$ 改寫成分式，$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 先取對數，最後須轉回原變數
• $x$ 很大時 $\ln x \ll x^p \ll e^x$（$p > 0$）

下一課進入積分：以長方形分割面積。