黎曼和與定積分

由速度估計距離

腳踏車以每秒 4 公尺等速行駛 10 秒，距離是 $4 \times 10 = 40$ 公尺。繪成速度對時間的圖，這 40 公尺恰為一塊長方形的面積：高是速度，寬是時間。

若速度持續變化，情況便不同。假設 $t$ 秒時的速度是 $v(t) = t^2 + 1$ 公尺／秒（示意值），求前 3 秒的行駛距離。「速度乘時間」無法直接使用，因為沒有固定的速度。

作法是將時間分割成許多小段。每一小段很短，速度變化不大，可視為固定，以一個長方形估計該段的距離，再全部相加。分成 3 段、取每段開頭的速度，估計值是

$$v(0)\cdot 1 + v(1)\cdot 1 + v(2)\cdot 1 = 1 + 2 + 5 = 8$$

這種長方形面積的和稱為黎曼和（Riemann sum）。

定積分的定義

將區間 $[a, b]$ 分成 $n$ 等份，每份寬 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$。在第 $i$ 段裡任取一點 $x_i^*$，黎曼和是

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

取點方式決定其名稱：左端點、右端點或中點。若 $n \to \infty$ 時這個和趨近同一個數，且與取點方式無關，此數稱為 $f$ 從 $a$ 到 $b$ 的定積分（definite integral）：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x$$

積分符號 $\int$ 是拉長的 S（sum），$dx$ 對應 $\Delta x$ 這段寬度。此記法表示其來自「高乘寬再加總」，$dx$ 不是可以單獨計算的數。

此極限不一定存在。$f$ 在 $[a, b]$ 上連續時，定積分一定存在，此時稱 $f$ 可積。有限個跳躍的有界函數也可積；但若函數在區間內趨向無窮大，上述定義不適用，須留待瑕積分一課處理。

黎曼和的誤差階數

動畫的輸出顯示，左端點和的誤差在 $n$ 加倍時大約減半，即誤差約與 $\frac{1}{n}$ 成正比。回到前述的 $v(t)$：左端點的誤差要小於 0.02 需要 $n = 675$，中點只需 $n = 11$。

原因可由圖形說明。左端點的長方形，在遞增函數上每一段都低估，誤差全部同方向累積。中點的長方形在同一段內前半高估、後半低估，一階的誤差互相抵銷，剩餘的誤差與 $\frac{1}{n^2}$ 成正比。下一個練習實際計算此比例。

定積分與有號面積

黎曼和的每一項是 $f(x_i^*)\,\Delta x$。若 $f(x_i^*)$ 為負，此項即為負。因此定積分不是「面積」，而是有號面積：$x$ 軸上方為正、下方為負，再相加。

$$\int_a^b f(x)\,dx = (\text{上方的面積}) - (\text{下方的面積})$$

以速度的例子而言：$v(t) < 0$ 表示反向移動，積分得到的是位移（最終相對起點的距離）。總路程須對 $\lvert v(t) \rvert$ 積分。

定積分的基本性質

以下性質都可以由黎曼和直接得出（$f$、$g$ 可積）：

注意，積分沒有乘積法則：$\int_a^b f(x)g(x)\,dx$ 一般不等於兩個積分相乘。例如 $f(x) = g(x) = x$，從 0 到 1 時，左邊是 $\frac{1}{3}$，右邊是 $\frac{1}{4}$。

重點整理

• 黎曼和 $\sum f(x_i^*)\,\Delta x$ 以長方形估計面積；$n \to \infty$ 的極限即為定積分
• 連續函數一定可積
• 遞增函數的左端點和低估、右端點和高估；中點法的誤差隨 $n$ 下降得更快（$n$ 加倍，左端點誤差約減半，中點約變成四分之一）
• 定積分是有號面積：$x$ 軸下方為負
• 對調上下限會變號，相鄰區間的積分可以相加

目前每計算一個定積分都須求一個極限。下一課的微積分基本定理提供較簡便的方法。更完整的文字說明見優微積分讀本的積分的直觀。