Learning Objectives
- 以「增加的一小片面積」說明累積函數的導數等於原函數的原因
- 用反導函數計算定積分
- 解釋不定積分的 +C，以及絕對值與定義域的細節
- 對上限是函數的積分使用連鎖律
累積函數
水庫以每小時 $f(t)$ 立方公尺的速率進水，$f(t)$ 為負時表示放水。從 $t = a$ 開始到 $t = x$ 為止，水量的變化為
$$A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$
此為一個新的函數：輸入右邊界 $x$，輸出從 $a$ 累積到 $x$ 的有號面積。它稱為累積函數（accumulation function）。
注意此處有兩個變數。$x$ 是右邊界，決定積分的終點；$t$ 只是積分時掃過區間的變數，積分後即消失，改名為 $u$ 或 $s$ 完全不影響結果，所以寫成 $f(t)\,dt$ 而不是 $f(x)\,dx$，避免一個字母同時表示兩種意義。
接下來討論 $A(x)$ 的導數。直覺上，水量變化的速率應為進水的速率 $f(x)$。以下以圖形確認。
第一部分：累積函數的導數
微積分基本定理（第一部分）：若 $f$ 在包含 $a$ 的區間上連續，則 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ 在該區間可微分，而且
$$A'(x) = f(x)$$
推導考慮「增加的一小片面積」。右邊界從 $x$ 移到 $x + h$（$h > 0$），由區間可加性，
$$A(x+h) - A(x) = \int_x^{x+h} f(t)\,dt$$
等號右邊是從 $x$ 到 $x+h$ 的一小片面積。$f$ 連續，所以在 $[x, x+h]$ 上有最大值 $M_h$ 與最小值 $m_h$，這片面積介於 $m_h \cdot h$ 和 $M_h \cdot h$ 之間。除以 $h$：
$$m_h \le \frac{A(x+h) - A(x)}{h} \le M_h$$
$h \to 0$ 時，因為 $f$ 連續，$m_h$ 和 $M_h$ 都趨近 $f(x)$，由夾擠定理，差商的極限為 $f(x)$。$h < 0$ 時相同的論證也成立。
「連續」這個條件用在最後一步。 若 $f$ 在 $x$ 有跳躍，兩側的極限不同，$A$ 在該處出現尖角、不可微分。例如 $f(t)$ 在 $t < 0$ 時是 $-1$、$t > 0$ 時是 $1$，從 0 開始積分得到 $A(x) = \lvert x \rvert$，它在 0 不可微分。
第二部分：以反導函數計算定積分
若 $F'(x) = f(x)$，則稱 $F$ 是 $f$ 的反導函數（antiderivative）。第一部分指出 $A$ 是 $f$ 的一個反導函數。導數相同的兩個函數，在區間上只差一個常數（這是均值定理的結果），所以任何反導函數都可以寫成 $F(x) = A(x) + C$。
代入 $x = b$ 與 $x = a$ 再相減，常數消去；又因為 $A(a) = 0$：
$$F(b) - F(a) = A(b) - A(a) = \int_a^b f(t)\,dt$$
微積分基本定理（第二部分）：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，$F$ 是 $f$ 的反導函數，則
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$
上一課須求極限才能算出的 $\int_0^1 x^2\,dx$，現在只需 $F(x) = \frac{x^3}{3}$，得到 $\frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$。
使用時須檢查 $f$ 在整個區間連續。 例如 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx$，代入 $F(x) = -\frac{1}{x}$ 會得到 $-2$，但被積函數處處為正，積分不可能為負。問題在於 $x = 0$ 不連續，定理不適用（此積分發散，留待瑕積分一課討論）。
不定積分與常見反導函數
所有反導函數的集合記法稱為不定積分（indefinite integral）：$\int f(x)\,dx = F(x) + C$。定積分是一個數，不定積分是一族函數，差別在於 $+C$。
| $f(x)$ | $\int f(x)\,dx$ | 注意 |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \ne -1$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln\lvert x \rvert + C$ | 絕對值：$x < 0$ 時 $\frac{1}{x}$ 也有定義，$\ln x$ 卻沒有 |
| $e^x$ | $e^x + C$ | |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ | 有負號 |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |
每一列都可以用微分驗算。驗算是判斷反導函數是否正確最可靠的方法，以下練習即採此方式：程式對你的算式微分，再與被積函數比對，所以相差常數也算正確。
上限為函數的積分
設 $G(x) = \int_0^{x^2} \cos t\,dt$。上限不是 $x$，所以不能直接寫 $G'(x) = \cos x$，也不是 $\cos(x^2)$。將其視為合成函數：$G(x) = A(g(x))$，其中 $A(u) = \int_0^u \cos t\,dt$、$g(x) = x^2$。由連鎖律得
$$G'(x) = A'(g(x))\,g'(x) = \cos(x^2)\cdot 2x$$
一般的公式是（$f$ 連續、$g$ 可微分）
$$\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$$
也可以驗算：此例中 $\int_0^{x^2} \cos t\,dt = \sin(x^2)$，對它微分確實得到 $2x\cos(x^2)$。
重點整理
- 累積函數 $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$；$f$ 連續時 $A'(x) = f(x)$
- $f$ 在 $[a, b]$ 連續、$F' = f$ 時，$\int_a^b f\,dx = F(b) - F(a)$
- 區間內不連續時不能直接代入，須先檢查條件
- 不定積分是一族函數，差一個常數 $C$；$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C$ 的絕對值不可省略
- 上限是 $g(x)$ 時須乘上 $g'(x)$
下一課開始討論反導函數的求法，第一種方法是逆用連鎖律。更完整的文字說明見優微積分讀本的微積分基本定理。
小測驗
$A(x) = \int_1^x t^3\,dt$，$A'(2)$ 是多少？
$\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ 是多少？
算式 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ 的錯誤何在？
$\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x} t^2\,dt$ 等於？
$A(x) = \int_0^x f(t)\,dt$，$f$ 連續。若 $f$ 在 $x = 3$ 由正變負，$A$ 在 $x = 3$ 有什麼現象？