Learning Objectives
- 說明代換積分法是連鎖律的逆用
- 判斷適當的 $u$，並求出 $du$
- 在定積分中同時更換上下限
- 辨識缺少所需因子、代換無效的情況
代換積分法與連鎖律
$\sin(x^2)$ 的微分為外層導數乘上內層導數，得到 $\cos(x^2)\cdot 2x$。將此結果逆向閱讀，得到一個積分：
$$\int \cos(x^2)\cdot 2x\,dx = \sin(x^2) + C$$
被積函數若具有這種形式，即一個函數 $g(x)$ 包在另一個函數內，外面還乘著 $g'(x)$，就可以使用代換積分法（substitution）。一般式為：若 $F' = f$，由連鎖律得 $\frac{d}{dx}F(g(x)) = f(g(x))\,g'(x)$，所以
$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$$
實際計算時，令 $u = g(x)$，將 $g'(x)\,dx$ 整體換成 $du$，積分便只含 $u$：
$$\int f(u)\,du = F(u) + C$$
上式將 $\frac{du}{dx} = g'(x)$ 寫成 $du = g'(x)\,dx$，形式上如同拆開分數。$\frac{du}{dx}$ 並非真正的分數，此處成立是因為整個過程都可以用連鎖律嚴格證明，$du$ 的寫法只是記憶上的輔助。
u 的選擇
沒有萬用公式，但有幾個線索：
- 被包住的部分：括號裡、根號裡、分母、指數、三角函數的角度
- 其導數：這個部分的導數（最多差一個常數）是否出現在式子其他位置
- 常數因子不構成問題：$\int x^2(x^3+1)^4\,dx$ 裡 $du = 3x^2\,dx$，少了一個 3，寫成 $x^2\,dx = \frac{1}{3}du$ 即可
$$\begin{aligned}\int x^2(x^3+1)^4\,dx &= \frac{1}{3}\int u^4\,du \\ &= \frac{u^5}{15} + C = \frac{(x^3+1)^5}{15} + C\end{aligned}$$
代換後只能剩下 $u$。若利用 $u$ 和 $x$ 的關係也無法消去 $x$，表示這個 $u$ 選擇不當，或此題不能單靠代換解決。可以消去時便能繼續，例如 $\int x^3\sqrt{x^2+1}\,dx$ 令 $u = x^2+1$，剩餘的 $x^2$ 可以寫成 $u-1$。
分母為 $u$ 時須保留絕對值：
$$\int \frac{\cos x}{\sin x + 2}\,dx = \ln\lvert \sin x + 2 \rvert + C$$
（此題的 $\sin x + 2$ 恆為正，所以絕對值可以省略，其他題目未必可以。）
定積分的換限
定積分有兩種作法：
作法一，更換上下限。 $x$ 從 $a$ 到 $b$ 時，$u$ 從 $g(a)$ 到 $g(b)$（$g'$ 連續、$f$ 在 $g$ 的值域上連續）：
$$\int_a^b f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$$
例如 $\int_0^1 2x\cos(x^2)\,dx$，令 $u = x^2$，上下限變成 $0^2 = 0$ 和 $1^2 = 1$（此題恰好未改變），答案是 $\sin 1$。再看 $\int_0^2 2x\cos(x^2)\,dx$：$u$ 的上限是 4，
$$\int_0^4 \cos u\,du = \sin 4$$
作法二，先求反導函數，換回 $x$ 再代入 $x$ 的上下限，得到 $\sin(x^2)\big\vert_0^2 = \sin 4$。兩種作法結果相同。
最常見的錯誤是混用：已經換成 $u$，卻代入 $x$ 的上下限。上例若寫成 $\int_0^2 \cos u\,du$，會得到 $\sin 2 \approx 0.909$，與正確的 $\sin 4 \approx -0.757$ 正負號也不同。
代換積分的限制
比較這兩個積分：
$$\int x\,e^{x^2}\,dx \qquad\text{和}\qquad \int e^{x^2}\,dx$$
左邊令 $u = x^2$，$du = 2x\,dx$，因子齊全，答案是 $\frac{1}{2}e^{x^2} + C$。
右邊僅差一個 $x$，同樣令 $u = x^2$，卻缺少所需的因子 $x$。若將 $dx$ 換成 $\frac{du}{2x}$，再將 $x$ 寫成 $\sqrt{u}$，只是把題目換成 $\int \frac{e^{u}}{2\sqrt{u}}\,du$，並未簡化。$e^{x^2}$ 的反導函數不是初等函數（第 22 課說明其意義），任何代換都無法寫出。
另一個常見錯誤是把 $x$ 當常數提到積分外面。積分變數不是常數，不能提出。
重點整理
- 代換積分是連鎖律的反向：$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = F(g(x)) + C$
- 選 $u$ 的線索：被包住的部分，且其導數（可差常數倍）也在式子裡
- 代換後只能剩 $u$；不定積分最後須換回 $x$
- 定積分須連上下限一起更換，或換回 $x$ 再代入，不可混用
- 像 $\int e^{x^2}\,dx$ 這樣缺少所需的因子，也無法消去 $x$ 時，代換無效
下一課以定積分計算兩條曲線之間的面積。
小測驗
$\int \frac{2x}{x^2+1}\,dx$ 是？
$\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx$，令 $u = x^2$，正確的式子是？
$\int_1^2 2x\cos(x^2)\,dx$，令 $u = x^2$ 後若寫成 $\int_1^2 \cos u\,du$，結果為何？
下列哪一個積分不能只靠一次簡單的 $u$ 代換算出初等函數的答案？
為什麼 $\int \tan x\,dx$ 可以用代換？提示：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。