兩曲線之間的面積

兩曲線之間的面積公式

校園內一塊草地的北邊界是 $y = 4 - x^2$，南邊界是 $y = x + 2$（單位：十公尺，示意值），以下求其面積。

前述的定積分計算曲線與 $x$ 軸之間的有號面積。此處的邊界不是 $x$ 軸，但概念相同：分割成許多垂直的細條，每一條的寬是 $\Delta x$，高是上方曲線減下方曲線，再相加：

$$\text{面積} = \int_a^b \big[\text{上}(x) - \text{下}(x)\big]\,dx$$

高度相減時，曲線位於 $x$ 軸上方或下方都不受影響。兩條曲線都在 $x$ 軸下方時，$\text{上} - \text{下}$ 仍為正，結果即為面積。

積分範圍 $a$、$b$ 在此問題中並未給定，須求兩條曲線的交點。令 $4 - x^2 = x + 2$，得到 $x^2 + x - 2 = 0$，即 $x = -2$ 和 $x = 1$。因此

$$\begin{aligned}&\int_{-2}^{1} \big[(4 - x^2) - (x + 2)\big]\,dx \\ &= \int_{-2}^{1} (2 - x - x^2)\,dx = \frac{9}{2}\end{aligned}$$

交叉曲線的分段積分

$\int_0^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx$ 的值為 0。然而由圖形可見，$\sin x$ 和 $\cos x$ 之間有兩塊面積。

問題在於這兩條曲線在 $x = \frac{\pi}{4}$ 交叉。交點左邊 $\cos x$ 在上，$\sin x - \cos x$ 為負；交點右邊 $\sin x$ 在上，為正。正負恰好抵銷。

一片的高度應為正，所以面積的定義是帶絕對值的積分：

$$\text{面積} = \int_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert\,dx$$

絕對值函數不易直接積分，實際作法是在交點分段，逐段判斷上方的曲線：

$$\begin{aligned}&\int_0^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx \\ &+ \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x)\,dx \\ &= 2(\sqrt{2} - 1) \approx 0.828\end{aligned}$$

因此計算面積的第一步始終是：檢查範圍內是否有交點。

對 y 積分

區域由 $x = y^2$ 和 $y = x - 2$ 圍成。若用垂直切片，左半段（$0 \le x \le 1$）的上下邊界是 $\pm\sqrt{x}$，右半段（$1 \le x \le 4$）的下邊界換成 $x - 2$，須分兩段：

$$\int_0^1 2\sqrt{x}\,dx + \int_1^4 \big(\sqrt{x} - x + 2\big)\,dx = \frac{9}{2}$$

改用水平切片時，整個區域的右邊都是 $x = y + 2$、左邊都是 $x = y^2$，一個積分即可。一片的長度是右邊減左邊，交點解 $y^2 = y + 2$ 得 $y = -1$、$y = 2$：

$$\int_{-1}^{2} \big[(y + 2) - y^2\big]\,dy = \frac{9}{2}$$

答案相同，因為計算的是同一塊面積。切片方向的選擇，取決於哪個方向的上下（或左右）邊界不會中途改變，以及算式是否容易積分。

重點整理

• 面積 $= \int_a^b \lvert f(x) - g(x) \rvert\,dx$，一片的高度是上減下，和 $x$ 軸無關
• 範圍通常須由交點求得
• 範圍內有交點時須分段，直接積分會使正負抵銷
• 對 $y$ 積分時一片的長度是右減左；選切片方向時，考慮哪一側的邊界不會中途改變

下一課將切片旋轉一圈，以相同概念計算體積。更完整的文字說明見優微積分讀本的面積與體積。