旋轉體的體積

旋轉體與圓盤法

車床上的木頭旋轉時可削出旋轉對稱的形狀，例如陀螺或花瓶。這種形狀的體積無法以長乘寬乘高計算，但可依黎曼和的概念處理：分割成許多薄片，計算一片，再相加。

將 $y = f(x)$ 下方的平面區域繞 $x$ 軸旋轉一圈。在 $x$ 處垂直於軸切一片，厚度 $\Delta x$，這一片是一個扁圓柱，半徑是 $f(x)$，所以體積約為 $\pi f(x)^2\,\Delta x$。相加後取極限：

$$V = \int_a^b \pi\,[f(x)]^2\,dx$$

這稱為圓盤法（disk method）。公式可由「一片是一個圓柱：底面積乘厚度」直接得出。

例如 $y = \sqrt{x}$ 在 $0 \le x \le 4$ 繞 $x$ 軸：

$$V = \int_0^4 \pi\,(\sqrt{x})^2\,dx = \pi\int_0^4 x\,dx = 8\pi$$

墊圈法與旋轉軸的變更

若區域介於兩條曲線之間，旋轉得到的立體中間是空的，切一片即為一個墊圈（washer）：大圓減小圓。

$$V = \int_a^b \pi\,\big(R(x)^2 - r(x)^2\big)\,dx$$

$R$ 是外半徑、$r$ 是內半徑。常見錯誤是寫成 $\pi(R - r)^2$：圓環面積是兩個圓面積相減，不是半徑相減再平方。

半徑一定是到旋轉軸的距離，不一定是函數值。 區域介於 $y = x$ 與 $y = x^2$ 之間（$0 \le x \le 1$）：

軸向下移 1，兩個半徑都增加 1，體積也隨之增大。若軸在區域上方，例如 $y = 2$，距離須寫成 $2 - x^2$ 與 $2 - x$，此時離軸較遠的是 $x^2$ 那條曲線，內外半徑對調。

圓柱殼法

將 $y = x^2$（$0 \le x \le 2$）下方的區域繞 $y$ 軸旋轉一圈。墊圈法須垂直於 $y$ 軸切，並先將曲線寫成 $x = \sqrt{y}$。另一種選擇是平行於軸切。

在 $x$ 處取一條寬 $\Delta x$ 的直立細條，它繞軸一圈形成薄圓筒，稱為圓柱殼（cylindrical shell）。將圓筒剪開攤平，幾乎是一塊長方板：長是圓周 $2\pi x$，高是 $f(x)$，厚是 $\Delta x$。因此

$$\begin{aligned}V &= \int_a^b 2\pi\,(\text{半徑})\,(\text{高})\,dx \\ &= \int_0^2 2\pi x \cdot x^2\,dx = 8\pi\end{aligned}$$

用墊圈法驗算同一個立體：在高度 $y$ 切一片，外半徑是 2，內半徑是 $\sqrt{y}$，

$$\begin{aligned}V &= \int_0^4 \pi\,\big(2^2 - (\sqrt{y})^2\big)\,dy \\ &= \pi\int_0^4 (4 - y)\,dy = 8\pi\end{aligned}$$

兩種切法答案相同，因為計算的是同一個立體。切片方向與軸的關係如下：

選擇較易計算的方法：通常考慮哪個方向的邊界不需分段、算式容易積分。

球與圓錐體積公式的驗證

半徑 $r$ 的球，是半圓 $y = \sqrt{r^2 - x^2}$ 繞 $x$ 軸的結果：

$$\begin{aligned}V &= \int_{-r}^{r} \pi\,(r^2 - x^2)\,dx \\ &= \pi\Big[r^2 x - \frac{x^3}{3}\Big]_{-r}^{r} = \frac{4}{3}\pi r^3\end{aligned}$$

底半徑 $r$、高 $h$ 的圓錐，是直線 $y = \frac{r}{h}x$（$0 \le x \le h$）繞 $x$ 軸的結果：

$$V = \int_0^h \pi\,\frac{r^2}{h^2}x^2\,dx = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

圓錐公式中的 $\frac{1}{3}$，來自 $x^2$ 積分時產生的 $\frac{1}{3}$。

重點整理

• 體積 ＝ 「一片的體積」的總和
• 圓盤：$\pi R^2\,\Delta$；墊圈：$\pi(R^2 - r^2)\,\Delta$，不是 $\pi(R - r)^2$
• 圓柱殼：$2\pi\,(\text{半徑})(\text{高})\,\Delta$
• 半徑是到旋轉軸的距離，更換旋轉軸時須重寫
• 垂直於軸切是墊圈，平行於軸切是殼；兩者答案相同，可選擇較易計算者

下一課回到積分技巧：並非每個積分都能代換，因此介紹分部積分與部分分式。更完整的文字說明見優微積分讀本的面積與體積。