分部積分與部分分式

分部積分公式

代換法處理的是連鎖律的反向。$\int x e^x\,dx$ 無法以代換處理：令 $u = x$、$u = e^x$ 或 $u = x e^x$ 都無法消去原變數，因為被積函數不是合成函數，而是兩個函數相乘。微分時處理乘積的是乘積法則：

$$\frac{d}{dx}\big[u(x)\,v(x)\big] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x)$$

兩邊積分（假設 $u'$、$v'$ 連續），再移項：

$$\int u\,v'\,dx = u\,v - \int v\,u'\,dx$$

以 $du = u'\,dx$、$dv = v'\,dx$ 表示，即為分部積分（integration by parts）：

$$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

此公式並未完成積分，只是將一個積分轉換為另一個積分；轉換後的積分較簡單時才有用。$\int x e^x\,dx$ 令 $u = x$、$dv = e^x\,dx$，得到 $du = dx$、$v = e^x$：

$$\int x e^x\,dx = x e^x - \int e^x\,dx = x e^x - e^x + C$$

計算 $v$ 時不必加常數，加上的常數最後也會消去。

u 與 dv 的選擇原則

選擇的目標是使 $\int v\,du$ 比原題簡單，具體原則如下：

• $u$ 選微分後會變簡單的函數：多項式微分會降次，$\ln x$ 微分變成 $\frac{1}{x}$，$\arctan x$ 微分變成有理函數
• $dv$ 選可以積分的函數：$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 積分後不會變複雜

$\int x e^x\,dx$ 若選反，即 $u = e^x$、$dv = x\,dx$，新的積分是 $\int \frac{x^2}{2}e^x\,dx$，次方反而上升；這一步的計算沒有錯誤，但方向不當。

循環的情況。 $\int e^x \sin x\,dx$ 做一次得到 $e^x\sin x - \int e^x\cos x\,dx$，再做一次（$u$ 仍選三角函數）得到

$$I = e^x\sin x - e^x\cos x - I$$

原來的積分 $I$ 再度出現。此時可將其視為方程式求解，$2I = e^x(\sin x - \cos x)$，所以

$$\int e^x\sin x\,dx = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$$

多項式次方較高時，需多次使用分部積分。$\int x^2 e^x\,dx$ 做兩次，得到 $(x^2 - 2x + 2)e^x + C$。

部分分式

計算 $\int \frac{3x + 5}{(x-1)(x+3)}\,dx$ 時，代換與分部積分都不適用。此時可使用通分的反向操作，將這個分式寫成兩個簡單分式的和，

$$\frac{3x + 5}{(x-1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+3}$$

兩邊乘上分母：$3x + 5 = A(x+3) + B(x-1)$。這是對所有 $x$ 都成立的等式，代入使某一項消失的 $x$ 最為簡便：$x = 1$ 時 $8 = 4A$，$x = -3$ 時 $-4 = -4B$，所以 $A = 2$、$B = 1$：

$$\begin{aligned}&\int \frac{3x + 5}{(x-1)(x+3)}\,dx \\ &= 2\ln\lvert x-1 \rvert + \ln\lvert x+3 \rvert + C\end{aligned}$$

分解方式依分母的因式決定（先確認分子次數比分母低，否則先做長除法）：

重根兩項都必須寫出，只寫 $\frac{B}{(x-a)^2}$ 會無法求解。不可約二次的分子是一次式，不是常數。

三角積分與三角代換

三角積分利用恆等式降低次方，或湊出代換需要的因子：

• $\int \sin^2 x\,dx$：用半角公式 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，得到 $\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$
• $\int \sin^3 x\,dx$：保留一個 $\sin x$ 作為 $du$ 的因子，其餘用 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$，令 $u = \cos x$

三角代換用於根號內含平方和或平方差的情形，其概念是利用畢氏恆等式消去根號：

例如四分之一圓的面積 $\int_0^1 \sqrt{1 - x^2}\,dx$：令 $x = \sin\theta$，$\theta$ 從 0 到 $\frac{\pi}{2}$，這個範圍內 $\cos\theta \ge 0$，所以 $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$（須注意此處的正負號），$dx = \cos\theta\,d\theta$：

$$\int_0^{\pi/2} \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\pi}{4}$$

和半徑 1 的圓面積四分之一相同。此處將 $x$ 寫成 $\theta$ 的函數，方向和第 18 課的 $u$ 代換相反，原理相同：變數改變時，上下限也隨之改變。

重點整理

• 分部積分：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$，來自乘積法則
• $u$ 選微分後會變簡單的函數（多項式、$\ln x$），$dv$ 選可以積分的函數（$e^x$、$\sin x$、$\cos x$）
• 原來的積分再度出現時，視為方程式求解
• 部分分式依分母因式分解：相異一次因式；重根須寫兩項；不可約二次的分子是一次式；分子次數須先低於分母
• 三角積分用恆等式降次，三角代換用畢氏恆等式消根號

許多積分無法用這些方法算出。下一課討論這種情況，並將積分範圍推廣至無窮大。