數值積分與瑕積分

沒有初等反導函數的積分

考試成績常以常態分布描述，計算「在平均上下一個標準差以內的比例」需要積分 $e^{-x^2}$ 這類函數。這個函數連續，所以定積分存在，基本定理也保證其反導函數存在，例如 $\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ 本身即為其反導函數。然而代換與分部積分都無法求出其形式。

這並非技巧不足。初等函數指的是多項式、有理函數、指數、對數、三角與反三角函數，經過有限次的四則運算與合成組成的函數。「$e^{-x^2}$ 沒有初等反導函數」的意思是：其反導函數存在，但無法寫成初等函數。這是已經證明的事實，並非尚未找到。$\frac{\sin x}{x}$、$\frac{1}{\ln x}$ 亦然。

因此有兩種處理方式：將這個反導函數視為新函數使用（統計與工程常用的誤差函數 $\operatorname{erf}$ 即依此定義），或直接計算數值。

梯形法與辛普森法

黎曼和以水平線段（長方形）逼近曲線。改用更好的逼近，誤差下降得更快。

梯形法：每一段以斜線連接兩端點，面積為梯形。

$$\begin{aligned}T_n = \frac{\Delta x}{2}\big[&f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \cdots \\ &+ 2f(x_{n-1}) + f(x_n)\big]\end{aligned}$$

辛普森法（Simpson's rule，$n$ 須為偶數）：每兩段以一條通過三個點的拋物線近似。積分這條拋物線得到加權 1、4、1 的公式，連接後成為 1、4、2、4、2、…、4、1：

$$\begin{aligned}S_n = \frac{\Delta x}{3}\big[&f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) \\ &+ \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\big]\end{aligned}$$

對夠平滑的函數，誤差的大小由 $\Delta x$ 的次方決定：梯形法的誤差和 $\frac{1}{n^2}$ 成正比，辛普森法和 $\frac{1}{n^4}$ 成正比。所以 $n$ 加倍時，梯形法的誤差約變成 $\frac{1}{4}$，辛普森法約變成 $\frac{1}{16}$。函數具有連續的高階導數（梯形法二階，辛普森法四階）時，這個誤差階有保證；不夠平滑時則無此保證，例如 $\sqrt{x}$ 在 $[0, 1]$ 上，$n$ 加倍時兩種方法的誤差都只變成約 $\frac{1}{2.83}$。以下以 $e^{-x^2}$ 實際計算確認。

瑕積分的兩種類型

定積分的定義要求區間有限、函數有界。不符合這些要求的兩種情況稱為瑕積分（improper integral），其定義都是先積分至函數有定義且範圍有限的位置，再取極限。

第一種：範圍無限。

$$\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx$$

極限存在且有限時稱為收斂，否則稱為發散。

第二種：函數在端點趨向無窮大（瑕點）。 例如 $f$ 在 $x = a$ 處無界：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)\,dx$$

瑕點在區間內部時，須分成兩段，兩段都收斂才算收斂。先前討論的 $\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx$，瑕點在 0，右半段 $\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx$ 已經發散，所以整個積分發散，代入反導函數得到的 $-2$ 沒有意義。

$p$ 判別：最重要的一族例子是 $x^{-p}$。對 $\int_1^t x^{-p}\,dx$ 直接積分（$p \ne 1$ 時得 $\frac{t^{1-p} - 1}{1-p}$，$p = 1$ 時得 $\ln t$），令 $t \to \infty$：

兩個方向的條件恰好相反。$p = 1$ 在兩邊都發散：$\int_1^t \frac{1}{x}\,dx = \ln t$，增長緩慢，但沒有上限。

比較審斂法

$\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx$ 沒有初等反導函數，判斷其收斂不必算出積分值，可與已知的積分比較。

比較審斂法：假設 $0 \le f(x) \le g(x)$ 對 $x \ge a$ 成立（兩個函數連續）：

• $\int_a^\infty g\,dx$ 收斂，則 $\int_a^\infty f\,dx$ 也收斂（比收斂的小）
• $\int_a^\infty f\,dx$ 發散，則 $\int_a^\infty g\,dx$ 也發散（比發散的大）

相反的情況無法得出結論：比發散的小，或比收斂的大，都無法判斷。

$x \ge 1$ 時 $x^2 \ge x$，所以 $e^{-x^2} \le e^{-x}$，而 $\int_1^\infty e^{-x}\,dx = e^{-1}$ 收斂，因此 $\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx$ 收斂。這個方法只能說明收斂，以及積分值不超過 $e^{-1}$；確切的值須用其他方法求得。

托里切利的小號

將 $y = \frac{1}{x}$（$x \ge 1$）繞 $x$ 軸旋轉一圈，得到一個無限長的喇叭形立體。以第 20 課的圓盤法計算體積：

$$V = \int_1^\infty \pi\,\frac{1}{x^2}\,dx = \pi$$

體積有限。至於表面積，旋轉面的面積公式是 $\int 2\pi y\sqrt{1 + y'^2}\,dx$，此處直接引用。因為 $\sqrt{1 + y'^2} \ge 1$，表面積不小於 $\int_1^t 2\pi \frac{1}{x}\,dx = 2\pi\ln t$，而這個值沒有上限，所以表面積發散。

這個立體常稱為托里切利的小號（Torricelli's trumpet），也稱加百列號角。義大利數學家托里切利（Evangelista Torricelli）研究過它，結果收錄在 1644 年出版的《Opera geometrica》。無限長的形狀可以有有限的體積，這一點當時令不少人感到驚訝。

重點整理

• 沒有初等反導函數：反導函數存在，但無法寫成初等函數
• 梯形法誤差約 $\frac{1}{n^2}$，辛普森法誤差約 $\frac{1}{n^4}$（函數須足夠平滑）
• 瑕積分＝先積到 $t$（或 $\varepsilon$），再取極限；瑕點在區間內部須分段，兩段都收斂才算收斂
• $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ 在 $p > 1$ 收斂；$\int_0^1 x^{-p}\,dx$ 在 $p < 1$ 收斂
• 比較審斂（非負函數）：比收斂的小則收斂，比發散的大則發散

下一課是定積分的其他應用：弧長、功、平均值與機率。