弧長、功、平均值與機率

定積分的應用

前幾課的面積與體積採用同一個流程：分割成小片，寫出每一小片的量，加總，取極限。此流程不限於幾何。一個量若可分割成許多小片，且每一小片約等於「某個函數值乘上一小段寬度」，即可寫成定積分。

本課討論四個例子，每個例子都先確定一小片的量。

弧長公式

登山步道的路線是曲線 $y = f(x)$，其長度可由積分求得。

將曲線分割成許多小段，每一小段近似直線。水平變化 $\Delta x$、垂直變化 $\Delta y$，由畢氏定理，這一段的長度為 $\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}$。提出 $\Delta x$（$\Delta x > 0$）：

$$\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \sqrt{1 + \Big(\frac{\Delta y}{\Delta x}\Big)^2}\,\Delta x$$

$\Delta x \to 0$ 時 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 趨近 $f'(x)$。所以 $f'$ 連續時：

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$

$f'$ 連續時公式必定成立；有尖點時 $f'$ 在該點不存在，須分段計算。此被積函數含根號，常無法積出初等形式，例如 $y = \sin x$ 從 0 到 $\pi$ 的弧長約 3.8202，須使用上一課的數值方法。可積出者也可能相當繁複，例如 $y = x^2$ 從 0 到 2 的弧長約 4.6468。

變力做功

定力 $F$ 使物體移動距離 $d$，所做的功是 $W = Fd$。力隨位置改變時，將距離分割成小段，每一小段內力近似不變：一小片的功是 $F(x)\,\Delta x$，所以

$$W = \int_a^b F(x)\,dx$$

力的單位是牛頓（N）、距離的單位是公尺（m）時，功的單位是焦耳（J）。

彈簧是最常見的例子。虎克定律（在彈性限度內）：將彈簧從自然長度拉長 $x$，需要的力是 $F(x) = kx$，$k$ 是彈性係數。從 $x = a$ 拉到 $x = b$：

$$W = \int_a^b kx\,dx = \frac{k}{2}(b^2 - a^2)$$

$k = 200$ N/m，從 0.1 m 拉到 0.3 m，功是 $100(0.09 - 0.01) = 8$ J。若以終點的力 60 N 乘距離 0.2 m，會得到 12 J，此為高估，因為力隨位移逐漸增加，起初並沒有那麼大。

由於 $W$ 和 $x^2$ 成正比，從自然長度起算的拉長量變為兩倍時，需做四倍的功。

函數的平均值

水庫的水位從早上 6 點到下午 6 點持續變化。每小時測量一次，加總後除以 12，可估計平均水位；測量越密集，估計越準確。

取 $n$ 個等距的點，$\Delta x = \frac{b-a}{n}$，所以 $\frac{1}{n} = \frac{\Delta x}{b-a}$：

$$\frac{f(x_1) + \cdots + f(x_n)}{n} = \frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^n f(x_i)\,\Delta x$$

$n \to \infty$ 得到函數的平均值：

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$$

幾何意義是：高度為 $f_{\text{avg}}$、底為 $b-a$ 的矩形，面積和曲線下的面積相同。

積分均值定理：若 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，必定存在某個 $c \in [a, b]$，使得 $f(c) = f_{\text{avg}}$。亦即平均值必定會被函數取到。連續的條件不可省略：函數前半為 0、後半為 1 時，平均值是 $\frac{1}{2}$，函數卻從不等於 $\frac{1}{2}$。

須注意平均值不是頭尾兩個值的平均，曲線中間的高度也須計入。

機率密度函數

通勤時間這類連續的量，討論「恰好等於 30 分鐘的機率」並無意義：恰好 30.000… 分鐘的機率是 0。有意義的是區間的機率，因此描述連續隨機變數的工具是機率密度函數 $f(x)$（probability density function）：

$$P(c \le X \le d) = \int_c^d f(x)\,dx$$

一小片的機率是 $f(x)\,\Delta x$，亦即「密度乘寬度」。這和質量密度的邏輯相同：密度乘體積才是質量。

由此可推得以下性質：

• $f(x) \ge 0$，而且整條曲線下的面積是 1：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$（這是一個瑕積分）
• $f(x)$ 本身不是機率，它可以大於 1
• $P(X = c) = \int_c^c f(x)\,dx = 0$

常態分布的密度是

$$f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

這正是上一課提到沒有初等反導函數的一類函數，其機率皆以數值方法計算。在平均值 $\mu$ 兩側一個標準差內的機率約 0.683，兩個標準差內約 0.954，三個標準差內約 0.997。

重點整理

• 流程相同：寫出一小片的量，加總，取極限
• 弧長：$\int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx$，來自畢氏定理
• 變力做功：$\int_a^b F(x)\,dx$；彈簧 $W = \frac{k}{2}(b^2 - a^2)$
• 平均值：$\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$；$f$ 連續時平均值必定會被取到
• 機率是密度曲線下的面積；密度可以大於 1；單一點的機率是 0

積分的部分至此告一段落。下一課開始討論微分方程，由「變化率的規則」求出函數。