斜率場與歐拉法

微分方程與斜率場

熱咖啡放在桌上，每一分鐘的溫度未必已知，但有一條規則可循：溫度與室溫相差越多，下降越快。銀行帳戶亦然，已知的是「餘額每年增加 2%」，而不是每一年的餘額。

這類規則的數學形式稱為微分方程（differential equation）：聯繫函數與其導數的等式，例如

$$y' = x - y$$

其意義為：在 $(x, y)$ 這個位置，函數的斜率必須是 $x - y$。

微分方程的解是一個函數，不是一個數。檢查一個函數是否為解時，將其代入並確認等式是否對每個 $x$ 都成立。例如 $y = x - 1$：左邊 $y' = 1$，右邊 $x - y = x - (x-1) = 1$，兩邊相等，所以它是解。$y = x - 1 + 2e^{-x}$ 也是解：左邊 $1 - 2e^{-x}$，右邊 $x - (x - 1 + 2e^{-x}) = 1 - 2e^{-x}$。

解不只一個，$y = x - 1 + Ce^{-x}$ 對任何常數 $C$ 都成立。要確定其中一條，需要額外的條件，稱為初始值：例如 $y(0) = 1$ 代入得 $-1 + C = 1$，所以 $C = 2$。

不解方程式也能觀察解的形狀。 方程式 $y' = f(x, y)$ 在平面上每一點都指定了一個斜率。在許多格點上各畫一小段具有該斜率的線段，所得的圖稱為斜率場（slope field）。

解的曲線必須在每一點都與該處的小線段相切。因此斜率場如同水流的方向：從一個起點順著方向延伸，即得一條解；起點改變，得到的是另一條解。

下方藍色的曲線是從起點出發的解，由程式以很小的步長數值計算。兩個方程式可以切換，也可以自行輸入 $f(x, y)$。

平衡解與唯一性

若 $f(x,y)$ 僅取決於 $y$，平衡解的穩定性可直接從導數判斷。以 $f(y) = y(2-y)$ 為例：

• $y$ 在 0 和 2 之間時 $f > 0$，解遞增；$y > 2$ 時 $f < 0$，解遞減。因此 $y = 2$ 兩側的解都向其靠近，此平衡解是穩定的
• $y$ 略小於 0 時 $f < 0$，解向下遠離；$y$ 略大於 0 時解向上遠離。$y = 0$ 是不穩定的

解的交叉。 若 $f$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(x_0, y_0)$ 附近都連續，則通過這一點的解在 $x_0$ 附近存在且唯一，所以兩條解不會在此相交。此定理有兩點須注意：

• 不唯一：$y' = 2\sqrt{y}$（$y \ge 0$）、$y(0) = 0$。$y = 0$ 是解，$y = x^2$（$x \ge 0$）也是解。這裡 $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{\sqrt{y}}$ 在 $y = 0$ 不連續
• 定理只保證附近：$y' = y^2$、$y(0) = 1$ 的解是 $y = \frac{1}{1-x}$，$f$ 處處平滑，解卻在 $x = 1$ 趨向無窮大。因此「存在」僅在起點附近有保證，並不保證解可延伸至任意位置

歐拉法

大部分微分方程無法寫出解的公式，此時可依斜率場逐步前進。在 $(x_n, y_n)$ 處，斜率是 $f(x_n, y_n)$；以切線近似函數（線性近似，$\Delta y \approx y' \cdot \Delta x$），前進水平距離 $h$：

$$y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n), \qquad x_{n+1} = x_n + h$$

此即歐拉法（Euler's method），$h$ 稱為步長。每一步都以「起點的斜率」涵蓋整段，而真解的斜率持續變化，所以每一步都會產生些微偏差。

手算一次 $y' = y$、$y(0) = 1$、$h = 0.5$（正確的解是 $y = e^x$）：

到達 $x = 1$ 時得到 2.25，正確值 $e \approx 2.71828$，相差約 0.468。此解為凹向上，切線始終在曲線下方，所以歐拉法在此持續低估。

歐拉法的誤差階

輸出的誤差如下：

比值趨近 2：步長減半，誤差約減半。原因是當 $f$ 足夠平滑時，每一步因直線近似產生的誤差約與 $h^2$ 成正比（泰勒展開的二次項），而到達固定終點需要 $\frac{1}{h}$ 步，累積誤差與 $h$ 成正比。這種方法稱為一階方法。

準確度每增加一位，步數須增加十倍。因此實務上常用更高階的方法，例如互動練習中作為參考答案的 RK4（四階的 Runge-Kutta），其每一步多次計算斜率再取加權平均，步長減半時誤差約縮小為 $\frac{1}{16}$。

歐拉法的數值穩定性

將歐拉法的公式用於 $y' = -3y$：

$$y_{n+1} = y_n + h(-3y_n) = (1 - 3h)\,y_n$$

因此每一步都乘上同一個數 $1 - 3h$，$n$ 步後為 $(1-3h)^n$：

一般而言，$y' = -\lambda y$（$\lambda > 0$）須 $h < \frac{2}{\lambda}$ 才不會發散。$\lambda$ 越大，解衰減得越快，歐拉法反而越需要小步長。

須注意真解 $e^{-3x}$ 並無異常。數值解發散不代表方程式的解發散，數值結果發散時應先檢查步長。

重點整理

• 微分方程是變化率的規則，解是函數；以代入檢查，以初始值確定其中一條
• 斜率場在每一點畫出解必須有的斜率，解的曲線和小線段相切
• 平衡解是讓斜率恆為 0 的水平線；附近的解向其靠近稱為穩定，遠離稱為不穩定
• $f$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 連續時，解在起點附近存在且唯一，但不保證可延伸至任意位置（可能在途中趨向無窮大）；條件不成立時可能不唯一
• 歐拉法：$y_{n+1} = y_n + h\,f(x_n, y_n)$，一階方法，步長減半誤差約減半
• 步長過大會使數值解振盪或發散，這是方法造成的，不代表真解如此

下一課以積分求出解，討論指數成長、半衰期、冷卻與 logistic 模型。更完整的文字說明見優微積分讀本的一階微分方程。