冪級數與泰勒展開

泰勒多項式

電腦的基本運算是加減乘除，多項式僅用到這些運算，代入數值、微分與積分都很簡單。$\sin x$、$e^x$ 則無法直接以加減乘除算出。本課討論如何找到一個多項式，在某個範圍內近似這類函數。

線性近似已完成第一步：以切線 $f(a) + f'(a)(x-a)$ 代替 $f$，函數值與斜率在 $a$ 都相同。要提高準確度，可要求更多階導數也相同。設

$$T(x) = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + \cdots$$

要求 $T$ 和 $f$ 在 $a$ 的值與各階導數都相等。對 $T$ 微分 $k$ 次：次數低於 $k$ 的項都變成 0，次數高於 $k$ 的項仍含因子 $(x-a)$，代入 $x = a$ 也是 0。只有 $c_k (x-a)^k$ 保留下來，成為 $k!\,c_k$。因此

$$T^{(k)}(a) = k!\,c_k \quad\Longrightarrow\quad c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$$

$k!$ 的來源是 $k$ 次微分將指數依序乘下來。取到第 $n$ 階的

$$T_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$$

稱為 $f$ 在 $a$ 的 $n$ 階泰勒多項式（Taylor polynomial）。$a = 0$ 時常稱為麥克勞林（Maclaurin）多項式。

常用函數的泰勒展開

以 $a = 0$ 為例。$f = e^x$ 的每一階導數都是 $e^x$，在 0 都是 1，所以 $c_k = \frac{1}{k!}$。$\sin x$ 的導數在 0 依序是 $0, 1, 0, -1, 0, 1, \dots$，所以只保留奇次項。

$\frac{1}{1-x}$ 即上一課的幾何級數。$\ln(1+x)$ 可以由 $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - \cdots$ 逐項積分得到；代入 $x = 1$，即得交錯調和級數的和 $\ln 2$。

收斂半徑

階數無限增加即得泰勒級數，這是一個冪級數（power series）$\sum c_k (x-a)^k$。對固定的 $x$，它即為上一課的級數，可使用比值審斂法：

$$\left\lvert \frac{c_{k+1}(x-a)^{k+1}}{c_k (x-a)^k} \right\rvert \to \frac{\lvert x-a \rvert}{R}$$

$$R = \lim_{k\to\infty} \left\lvert \frac{c_k}{c_{k+1}} \right\rvert$$

（假設此極限存在。）因此 $\lvert x - a \rvert < R$ 時絕對收斂，$\lvert x - a \rvert > R$ 時發散。$R$ 稱為收斂半徑（radius of convergence）。

端點須另行判斷。 $\lvert x - a \rvert = R$ 時比值是 1，比值法沒有結論。三個半徑都是 1 的例子，端點的情況都不同：

在收斂區間內部，冪級數可以逐項微分與逐項積分，半徑不變。

$e^x$ 的 $\left\lvert \frac{c_k}{c_{k+1}} \right\rvert = k + 1 \to \infty$，所以 $R = \infty$。$\ln(1+x)$ 在 $a = 0$ 的 $R = 1$，因為函數本身在 $x = -1$ 處沒有定義。

$\frac{1}{1+x^2}$ 的例子。 這個函數在實數上處處平滑，圖形沒有任何異常，泰勒級數 $1 - x^2 + x^4 - \cdots$ 的半徑卻只有 1。原因須在複數範圍內才能看出：分母在 $x = \pm i$ 等於 0，而複數平面上 0 到 $\pm i$ 的距離恰為 1。改變展開點 $a$，半徑變為 $a$ 到 $\pm i$ 的距離 $\sqrt{1 + a^2}$。

泰勒餘項與誤差估計

收斂半徑僅說明是否收斂，實際應用時還需要知道誤差。若 $f$ 在包含 $a$ 與 $x$ 的區間上有 $n+1$ 階導數，拉格朗日餘項（Lagrange remainder）指出：存在 $a$ 與 $x$ 之間的某個 $\xi$，使得

$$f(x) - T_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

$\xi$ 的確切位置未知，但只要有導數的上界 $M$，就有 $\lvert f(x) - T_n(x) \rvert \le \frac{M}{(n+1)!}\lvert x-a \rvert^{n+1}$。$n = 0$ 時即為均值定理。

例。 $e^x$、$a = 0$、$x = 1$：導數最大不超過 $e < 3$，所以誤差 $\le \frac{3}{(n+1)!}$。$n = 5$ 時上界是 $\frac{3}{720} \approx 0.0042$，實際誤差約 0.0016。

從這個公式可以看出展開點的影響：誤差和 $\lvert x - a \rvert^{n+1}$ 成正比，離展開點越遠誤差越大。計算 $e^{3}$ 的近似值時，以 $a = 0$ 展開不如以靠近 3 的點展開，前提是展開點的函數值容易計算。

分母的 $(n+1)!$ 增長速度超過任何 $\lvert x-a \rvert^{n+1}$，這也是 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 對所有實數都收斂到原函數的原因：它們的導數有可控制的上界，餘項趨近 0。

泰勒級數與原函數不相等的例子

到目前為止的例子中，泰勒級數收斂時都等於原函數，但這並非必然。考慮

$$f(x) = \begin{cases} e^{-1/x^2} & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$$

$x$ 靠近 0 時 $\frac{1}{x^2}$ 很大，$e^{-1/x^2}$ 極小。由定義可證明它在 0 有任意階導數，且全部等於 0：每次微分得到的都是「$\frac{1}{x}$ 的多項式乘上 $e^{-1/x^2}$」，指數衰減快於多項式增長，差商的極限都是 0。

因此它在 0 的泰勒級數是 $0 + 0x + 0x^2 + \cdots$，對所有 $x$ 都收斂，收斂到 0，而 $f(x)$ 在 $x \ne 0$ 時不是 0。

此例說明兩者不同：泰勒級數收斂，以及它收斂到 $f$。後者須餘項趨近 0 才成立。在每一點附近都等於自身泰勒級數的函數稱為解析函數（analytic function），這個 $f$ 無窮可微分，在 0 卻不解析。

重點整理

• 要求各階導數在 $a$ 相等，得到 $c_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!}$，$k!$ 來自 $k$ 次微分
• $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 的展開對所有實數成立；$\frac{1}{1-x}$ 須 $\lvert x \rvert < 1$；$\ln(1+x)$ 須 $-1 < x \le 1$
• 比值法給出收斂半徑，端點須另行判斷
• $\frac{1}{1+x^2}$ 這類解析函數的半徑，由複數平面上最近的奇異點決定，所以只有 1
• 餘項 $\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$ 給出誤差，離展開點越遠誤差越大
• 泰勒級數收斂不等於收斂到原函數：$e^{-1/x^2}$ 在 0 的泰勒級數全為 0

下一課由單一變數轉向多變數，從三維空間的向量開始。更完整的文字說明見優微積分讀本的泰勒級數。