向量場與線積分

向量場與功

騎車時，順風省力，逆風費力，側風的影響很小。風在每個位置都有方向和大小，這種「每個點對應一個向量」的對象稱為向量場（vector field）：

$$\mathbf{F}(x, y) = (P(x, y),\ Q(x, y))$$

風速圖、水流、磁場、重力都是向量場。函數的梯度也是一個向量場。

風對騎車者做的功須沿路線累積。將路線切成許多小段，每段的位移 $\Delta\mathbf{r}$ 很短，風可視為不變。該小段的功是內積 $\mathbf{F} \cdot \Delta\mathbf{r}$：順風為正，逆風為負，側風為 0。全部相加並取極限，即為向量線積分：

$$\begin{aligned}\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &= \int_a^b \mathbf{F}(r(t)) \cdot r'(t)\,dt \\ &= \int_C P\,dx + Q\,dy\end{aligned}$$

計算時將路徑參數化，全部以 $t$ 表示。例如 $\mathbf{F} = (-y, x)$，路徑是單位圓上從 $(1, 0)$ 到 $(0, 1)$ 的四分之一圓，$r(t) = (\cos t, \sin t)$，$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$：

$$\begin{aligned}&\int_0^{\pi/2} (-\sin t, \cos t) \cdot (-\sin t, \cos t)\,dt \\ &= \int_0^{\pi/2} 1\,dt = \frac{\pi}{2}\end{aligned}$$

純量線積分是另一種積分：$\int_C f\,ds = \int_a^b f(r(t))\,\lvert r'(t) \rvert\,dt$，將函數值乘上弧長後相加，例如線密度為 $f$ 的鐵絲總質量。

兩者對方向的反應不同。將路徑反向時：

• $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 變號，因為每段位移都反向
• $\int_C f\,ds$ 不變，因為弧長 $ds$ 恆為正

保守場與線積分基本定理

第二個場的線積分只取決於起點和終點，與路徑的形狀無關。原因是此場為某個函數的梯度：$\mathbf{F} = (2xy, x^2 + 3y^2) = \nabla\varphi$，$\varphi = x^2 y + y^3$。這種場稱為保守場（conservative field），$\varphi$ 稱為位能函數（potential function）。

由連鎖律，$\frac{d}{dt}\varphi(r(t)) = \nabla\varphi \cdot r'(t)$。因此積分可直接套用微積分基本定理：

$$\begin{aligned}\int_C \nabla\varphi \cdot d\mathbf{r} &= \int_a^b \frac{d}{dt}\varphi(r(t))\,dt \\ &= \varphi(B) - \varphi(A)\end{aligned}$$

這稱為線積分基本定理，條件是 $\varphi$ 有連續的梯度、路徑是分段平滑的。因此以下三項敘述等價（在連通的區域上）：

1. $\mathbf{F}$ 是某個 $\varphi$ 的梯度
2. 線積分與路徑無關，只取決於起點與終點
3. 沿任何封閉路徑的線積分都是 0

例如從 $(-2, -1)$ 到 $(2, 1)$：$\varphi(2, 1) - \varphi(-2, -1) = 5 - (-5) = 10$，與路徑無關。

求 $\varphi$ 的方法：對 $P$ 積分 $x$，積分常數可以是 $y$ 的函數。$\varphi = \int 2xy\,dx = x^2 y + g(y)$；再對 $y$ 微分須等於 $Q$：$x^2 + g'(y) = x^2 + 3y^2$，所以 $g(y) = y^3$。

保守場的判斷：若 $\mathbf{F} = \nabla\varphi$，二階偏導數連續時 $P_y = \varphi_{xy} = \varphi_{yx} = Q_x$。所以

$$P_y = Q_x$$

是必要條件：不滿足則一定不保守。旋轉場 $(-y, x)$ 的 $P_y = -1$、$Q_x = 1$，不是保守場。

在單連通的區域上，它也是充分條件。單連通表示區域沒有洞：其中任何封閉曲線都可以連續縮成一點。

洞會改變結論。考慮

$$\mathbf{F} = \left(\frac{-y}{x^2 + y^2},\ \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$$

它在原點沒有定義，定義域是去除原點的平面，有一個洞。直接微分可得 $P_y = Q_x$ 處處成立。但沿半徑 $R$ 的圓繞一圈時，$r(t) = (R\cos t, R\sin t)$：

$$\oint \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^{2\pi} \frac{R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t}{R^2}\,dt = 2\pi$$

結果不為 0，所以它不是保守場，且結果與半徑無關。圓包圍洞時為 $2\pi$；圓不包圍洞（圓不包含原點，這塊區域是單連通的）時為 0。以下練習可驗證此結果。

重點整理

• 向量線積分 $\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 是沿路徑累積的功，路徑反向時變號；純量線積分 $\int_C f\,ds$ 不變
• 線積分基本定理：$\int_C \nabla\varphi \cdot d\mathbf{r} = \varphi(B) - \varphi(A)$
• 保守場、路徑無關、封閉路徑積分為 0，三者等價（連通區域）
• $P_y = Q_x$ 是必要條件；在單連通區域上才是充分條件
• $\frac{-y}{x^2+y^2}$、$\frac{x}{x^2+y^2}$ 處處滿足 $P_y = Q_x$，繞原點一圈卻是 $2\pi$

下一課介紹格林定理，建立「繞一圈的線積分」與「內部區域」的關係。