功與動能

功的定義

將一疊書舉在胸前站立五分鐘，手臂會感到痠痛。但在物理上，對書做的功為 0，因為書沒有移動。

肌肉疲勞是身體內部的現象：肌肉纖維持續收縮須消耗化學能，這些能量大多轉為身體的內能，未傳給書。書的能量全程沒有改變。物理學的「功」只考慮這個力是否將能量傳給物體。

最簡單的情況是定力 $F$ 沿位移方向作用，物體移動距離 $d$：

$$W = F d$$

單位是牛頓乘公尺，稱為焦耳（J）。力的方向與位移相反時，功為負值，代表物體將能量傳出，例如煞車時的摩擦力。

本課討論力不是定值時與力為斜向時的計算方法，以及做功對物體運動的影響。

變力的功與功能定理

力隨位置改變時，將路徑分割為許多小段，每一小段 $\Delta x$ 上的力幾乎不變，功約為 $F\,\Delta x$，亦即一個細長方形的面積。全部相加，段數趨近無限多時即為積分：

$$W = \int_{x_1}^{x_2} F(x)\,dx$$

$F$-$x$ 圖下方的面積即為功。這與微積分軌的定積分是同一概念，只是此處面積的單位為 $\text{N}\cdot\text{m}$。力為負值的區段，面積為負。

將力的累積效果轉換為速度的改變，推導只用到牛頓第二定律。一維運動時 $F = ma$，再以連鎖律將 $a$ 改寫為對位置的變化（$a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = v\frac{dv}{dx}$）：

$$\int_{x_1}^{x_2} F\,dx = \int_{x_1}^{x_2} m v\frac{dv}{dx}\,dx = \int_{v_1}^{v_2} m v\,dv = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$$

定義動能 $K = \frac{1}{2}mv^2$，即得功能定理（work-energy theorem）：

$$W_{\text{合}} = K_2 - K_1$$

須注意此處的 $W_{\text{合}}$ 是合力做的功，所有力的功相加才等於動能的變化。

彈簧力的功

將彈簧從原長拉長 $x$，所需的力為 $F = kx$（虎克定律的大小，$k$ 稱為彈力常數，只在彈性範圍內成立）。力持續增加，因此不能用「力乘距離」，須計算面積：

$$W = \int_0^x k s\,ds = \frac{1}{2}kx^2$$

$F$-$x$ 圖是一條過原點的直線，下方是三角形，底 $x$、高 $kx$，面積恰為 $\frac{1}{2}kx^2$。此處的 $\frac{1}{2}$ 源於力從 0 開始，平均值只有最大值的一半。

伸長量加倍時，底和高都加倍，功變為 4 倍。釋放後，彈簧的力對滑塊做相同的功，因此滑塊通過原長位置時 $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}kx^2$。

斜向力的功與功率

拉行李箱時，拉桿斜向上。將力分解為沿路面與垂直路面兩個分量，物體沒有沿垂直方向移動，因此垂直分量不做功。定力時：

$$W = \vec{F}\cdot\vec{d} = F d\cos\theta$$

此運算稱為內積（dot product），結果是純量。功不是向量，沒有方向。

由此式可知以下幾種不做功的情況：

• $\theta = 90^\circ$：力與位移垂直。水平行走時，手托書的力向上，位移水平，此力不做功
• 物體在桌面滑動時，正向力和重力都垂直於位移，也不做功
• 圓周運動的向心力永遠垂直於速度，因此不改變速率，只改變方向

功率是做功的快慢：

$$P = \frac{dW}{dt} = \vec{F}\cdot\vec{v}$$

單位為瓦特（W），1 W = 1 J/s。同樣上升一層樓，步行與奔跑對抗重力做的功相同，奔跑的功率較大。另須留意，等速拉動箱子時，拉力做正功、摩擦力做等量的負功，合力的功為 0，因此動能不變；這不表示拉力沒有做功。

重點整理

• 功是力將能量傳給物體的量：$W = \int F\,dx$，等於 $F$-$x$ 圖的面積，負面積是負功
• 定力斜向時 $W = Fd\cos\theta$，垂直於位移的力不做功
• 功能定理：合力的功等於動能變化，$W_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2$，這是牛頓第二定律積分後的結果
• 彈簧的功是 $\frac{1}{2}kx^2$，伸長量加倍時功變為 4 倍
• 功率是做功的快慢：$P = \vec{F}\cdot\vec{v}$

下一課討論僅取決於起點與終點的力所做的功，此功可儲存為「位能」，由此導出能量守恆。更詳細的說明請參閱讀本的功、能量與能量守恆。