導數與切線

平均變化率與瞬時變化率

一列區間車 10 分鐘行駛 12 公里，平均時速為 72 公里，由距離除以時間求得。通過某座橋瞬間的時速則無法如此計算：瞬間行駛的距離是 0，經過的時間也是 0，直接相除得到 $\frac{0}{0}$。

微積分的做法是不直接計算該瞬間，而是計算一段很短時間內的平均速度，並觀察時間越來越短時它趨近於何值。

以圖形表示：函數 $y = f(x)$ 上有兩個點，$P = (a, f(a))$ 和 $Q = (a+h, f(a+h))$。通過這兩點的直線稱為割線，斜率是

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

這個分式稱為差商（difference quotient），代表 $x$ 從 $a$ 變到 $a+h$ 這一段的平均變化率。

導數的定義

$h$ 等於 0 時無法計算，$h$ 不等於 0 時皆可計算，且 $h$ 越小，數值越穩定地趨近某個值。這正是上一單元介紹的極限。因此定義：

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若此極限存在，稱為 $f$ 在 $a$ 的導數（derivative），並稱 $f$ 在 $a$ 可微分。導數有兩種等價的解讀：

• 幾何：曲線在 $(a, f(a))$ 的切線斜率。切線方程式是 $y = f(a) + f'(a)(x-a)$
• 變化率：$x$ 在 $a$ 附近微小變動時，$f$ 變動的量大約是 $x$ 變動量的 $f'(a)$ 倍

以定義計算 $f(x) = x^2$ 在任意 $a$ 的導數。先展開分子，即可約去 $h$：

$$\frac{(a+h)^2-a^2}{h} = \frac{2ah+h^2}{h} = 2a+h \quad (h \neq 0)$$

分母已無 $h$，令 $h \to 0$ 得到 $f'(a) = 2a$。注意順序：先約分（此時 $h \neq 0$，約分是合法的），再取極限。代入 $a = 1$，即得到圖上的 2。

將 $a$ 換成變數 $x$，得到新的函數 $f'(x) = 2x$，稱為導函數。常見的寫法還有 $\frac{dy}{dx}$、$\frac{d}{dx}f(x)$，下一課將討論此函數的圖形。

數值微分中 h 的選擇

由輸出可知：$h$ 從 1 縮小時誤差先變小，約在 $10^{-9}$ 附近開始變大，$h = 10^{-15}$ 時誤差已相當明顯，$h = 10^{-18}$ 時差商為 0。

原因在於電腦的浮點數，而非數學本身：一個數僅有約 16 位有效數字。$(1+h)^2$ 與 1 過於接近時，相減後大部分有效數字互相抵銷，剩餘的主要是捨入誤差。

因此導數的定義是極限，但程式中的數值微分須選擇大小適中的 $h$。本課程的小工具計算切線時也因此採用符號微分：依微分法則求出算式，而非除以很小的 $h$。

不可微分的情形

極限存在才稱為可微分，而極限存在需要左右兩側都趨近同一個值。常見的不可微分情況有三種：

可微分一定連續，但連續不一定可微分：$\lvert x \rvert$ 是連續但不可微分的例子。

重點整理

• 差商 $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ 是割線斜率，也是平均變化率
• 導數 $f'(a)$ 是 $h \to 0$ 時差商的極限，也是切線斜率與瞬時變化率
• 切線方程式：$y = f(a) + f'(a)(x-a)$
• 極限不存在時不可微分：尖點、垂直切線、不連續
• 數值計算時 $h$ 並非越小越好，過小的 $h$ 會因浮點數而產生誤差

下一課將 $f'(x)$ 視為一個函數，討論如何由 $f$ 的圖形看出 $f'$ 的形狀。更完整的文字說明見優微積分讀本的導數的定義與幾何意義。