磁場與磁力

磁場與勞侖茲力

舊式映像管電視的畫面由電子束撞擊螢幕形成。磁鐵靠近螢幕時，電子束的路徑彎曲，畫面因而扭曲。此時電子的速率並未改變，改變的只有方向。

這個現象的定律形式即勞侖茲力（Lorentz force）：

$$\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}$$

這條式子有三個要點：

• 靜止的電荷不受磁力，$\vec{v} = 0$ 時 $\vec{F} = 0$。這是磁力與電力最大的差別。
• 力的大小是 $F = \lvert q \rvert vB\sin\theta$，$\theta$ 是 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$ 的夾角。沿著磁場運動時不受力，垂直時受力最大。
• 方向由外積（向量外積）決定：右手四指由 $\vec{v}$ 彎向 $\vec{B}$，拇指方向即 $\vec{v}\times\vec{B}$。力恆同時垂直 $\vec{v}$ 和 $\vec{B}$。$q$ 為負時，力的方向相反，電子即屬此例。

磁場的單位是特斯拉（tesla），$1\ \text{T} = 1\ \text{N}/(\text{A}\cdot\text{m})$。地表的地磁場約 25 到 65 μT，醫院常見的核磁共振掃描儀是 1.5 T 或 3 T。

在下方的小工具中，畫面為俯視圖，粒子向右運動（$+x$）。點「·」表示 $\vec{B}$ 穿出畫面（$+z$），叉「×」表示穿入畫面（$-z$）。請先以右手判斷，再發射。此處質量固定為質子的值，只改變電荷的正負與大小，以便比較；$v$ 約 $10^6$ m/s、$B$ 約 0.1 T。軌跡由程式逐步積分勞侖茲力算出，並非預先畫好的圓。

磁力的功與圓周軌跡

力對粒子做功的功率為 $\vec{F}\cdot\vec{v}$。外積 $\vec{v}\times\vec{B}$ 恆垂直 $\vec{v}$，因此：

$$P = \vec{F}\cdot\vec{v} = q(\vec{v}\times\vec{B})\cdot\vec{v} = 0$$

磁力不做功，無論磁場強弱或形狀，只有磁力作用時粒子的動能皆不變。電視的電子束要加速，須藉助電場，而非磁場。

在均勻磁場中，$\vec{v}$ 垂直 $\vec{B}$ 時，力的大小 $\lvert q \rvert vB$ 固定、方向恆垂直速度，此即等速率圓周運動所需的條件。磁力在此作為向心力（並非另有新的力，而是磁力本身提供向心加速度）：

$$\lvert q \rvert vB = \frac{mv^2}{r}\quad\Rightarrow\quad r = \frac{mv}{\lvert q \rvert B}$$

繞行一周的時間為周長除以速率，$v$ 被消去：

$$T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi m}{\lvert q \rvert B}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{\lvert q \rvert B}{2\pi m}$$

週期與速率無關：速率大的粒子軌道半徑大，速率小的半徑小，繞行一周的時間相同。迴旋加速器（cyclotron）即利用此性質，以固定頻率的電場持續加速粒子。這些公式適用於速率遠小於光速的情況；接近光速時須採用相對論（第 39 課）。

以質子代入：$v = 10^6$ m/s、$B = 0.1$ T 時，半徑約 10 cm，週期約 0.66 μs。相同速率下，電子質量僅約為質子的 1/1836，半徑也按此比例縮小。

螺旋運動與極光

若速度不垂直磁場，可將速度分解為兩個分量：平行 $\vec{B}$ 的 $v_\parallel$ 不受力，維持等速；垂直 $\vec{B}$ 的 $v_\perp$ 形成圓周運動。兩者合成螺旋線，半徑與螺距為：

$$r = \frac{m v_\perp}{\lvert q \rvert B}, \qquad \text{螺距} = v_\parallel T$$

帶電粒子因此環繞磁力線前進。地球的磁層中即有此類運動：極光主要由磁層中的電子造成，電子被加速後沿磁力線進入高層大氣，撞擊氧與氮而發光，因此極光多出現在環繞磁極的帶狀區域。

電場與磁場的共同作用

加上電場後，完整的勞侖茲力為 $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$。

速度選擇器：使 $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 互相垂直。電力與磁力方向相反，兩者大小相等時粒子不偏轉：

$$qE = qvB \quad\Rightarrow\quad v = \frac{E}{B}$$

$q$ 被消去，因此無論電荷正負、電量或質量，只有這個速率能直線通過。方向也須符合：粒子須沿 $\vec{E}\times\vec{B}$ 的方向射入；反方向射入時，電力與磁力同向，不會抵消。

質譜儀：先以速度選擇器篩選相同速率的離子，再進入純磁場。$r = mv/(\lvert q \rvert B)$，相同 $v$、$q$、$B$ 下半徑正比於質量，因此同位素會分離。

$\vec{E}\times\vec{B}$ 飄移：在均勻且互相垂直的 $\vec{E}$、$\vec{B}$ 中，使一個電荷由靜止釋放。電場使其加速，速度增大後磁力使其轉彎，轉回後又被電場減速，軌跡為一連串的擺線（cycloid）。平均而言，電荷朝垂直 $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 的方向前進：

$$\vec{v}_d = \frac{\vec{E}\times\vec{B}}{B^2}$$

此式同樣不含 $q$ 和 $m$。正負電荷旋轉方向相反，但飄移方向相同，大小為 $E/B$（速率遠小於光速時）。電漿物理中常用此結果。

載流導線受力與馬達

導線中的電流即一群移動的電荷。長度 $L$、截面積 $A$ 的導線中有 $nAL$ 個載子，各以漂移速度 $\vec{v}_d$ 運動，受力總和為：

$$\vec{F} = (nAL)\,q\,\vec{v}_d\times\vec{B} = I\vec{L}\times\vec{B}$$

此處用到 $I = nAqv_d$，$\vec{L}$ 的方向定義為電流方向。電流方向是正電荷流動的方向，金屬中實際移動的是電子，方向相反，但 $q$ 和 $\vec{v}_d$ 同時變號，結果相同。

數值上，長 1 m、載 10 A 的導線垂直於約 50 μT 的地磁場時，受力僅 $5\times 10^{-4}$ N，日常難以察覺。

馬達：矩形線圈置於磁場中，對邊的電流方向相反，因此受力方向相反，形成力矩。$N$ 匝、面積 $A$ 的線圈，法線與 $\vec{B}$ 夾角為 $\theta$ 時：

$$\tau = NIAB\sin\theta$$

$\theta = 0$ 時力矩為零。線圈轉過此位置後，相同的電流會使力矩反向。直流馬達以換向器（commutator）每半圈將電流反向，力矩才能維持同一方向。

磁力不對單一電荷做功，馬達的能量來自電源。導線中的電荷受到磁力後會被導線束縛，磁力使導線整體受力；電源維持電流須對抗線圈轉動產生的反電動勢，能量由電源提供。後續的電磁感應一課將再說明此點。

重點整理

• 勞侖茲力 $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v}\times\vec{B})$；靜止電荷不受磁力，平行磁場運動也不受磁力，負電荷的方向相反
• 磁力恆垂直速度，不做功，只有磁力作用時速率不變
• 均勻磁場、速度垂直磁場、速率遠小於光速時：$r = mv/(\lvert q \rvert B)$，$T = 2\pi m/(\lvert q \rvert B)$，週期與速率無關
• 速度不垂直磁場時軌跡為螺旋線：半徑取決於 $v_\perp$，螺距取決於 $v_\parallel$
• 均勻的 $\vec{E}$、$\vec{B}$ 互相垂直時，沿 $\vec{E}\times\vec{B}$ 方向、速率 $E/B$ 的粒子直線通過；由靜止釋放的電荷以 $E/B$ 飄移，與 $q$、$m$ 無關
• 導線受力 $\vec{F} = I\vec{L}\times\vec{B}$，線圈力矩 $\tau = NIAB\sin\theta$

下一課討論磁場的來源：電流產生磁場。馬達的轉動可參閱 Uedu Science 的直流馬達模擬；粒子軌跡可於帶電粒子模擬自由調整參數。