電流產生磁場

電流的磁效應

1820 年，丹麥物理學家厄斯特（Hans Christian Ørsted）發表其實驗結果：導線接上電池、有電流通過時，旁邊的羅盤指針會偏轉；電流反向，指針也反向。當時多數人將電與磁視為不同的現象，這項實驗明確指出電流會產生磁效應。

上一課討論磁場對運動電荷的作用。本課討論另一面：運動電荷（電流）產生磁場。

長直導線的磁場有兩個特點：

• 方向環繞導線：右手拇指沿電流方向，四指彎曲的方向即磁場方向。磁力線為環繞導線的圓，沒有起點與終點。
• 大小與距離成反比：

$$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$$

$\mu_0$ 稱為真空磁導率，約 $1.2566\times 10^{-6}$ T·m/A，非常接近 $4\pi\times 10^{-7}$。舊的安培定義曾將其定為恰好等於此值；2019 年國際單位制改以基本電荷定義安培之後，$\mu_0$ 成為須由實驗測定的量，數值幾乎未變。

數值上，10 A 的電流在距離 5 cm 處的磁場為 40 μT，與地磁場（約 25 到 65 μT）同一數量級，因此羅盤能顯示偏轉。

小工具為俯視圖：導線垂直畫面，紅點「·」表示電流穿出畫面，藍點「×」表示穿入畫面。

必歐－沙伐定律

長直導線的公式是整條導線的結果。基本規則描述一小段電流 $I\,d\vec{l}$ 在距離 $r$ 處貢獻的磁場，即必歐－沙伐定律（Biot-Savart law）：

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$$

與庫侖定律比較：同樣與距離平方成反比，但方向須取外積，因此一小段電流的磁場垂直於電流方向，也垂直於連線方向。在電流的正前方與正後方，$d\vec{l}\times\hat{r} = 0$，該處沒有貢獻。

整條導線的磁場為各小段貢獻的總和，即積分。長直導線的積分結果即前述的 $\mu_0 I/(2\pi d)$。

圓環電流的情形較為直接。圓環中心到每一小段的距離皆為 $R$，$d\vec{l}$ 又皆垂直 $\hat{r}$，所有貢獻方向相同：

$$B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R^2}\oint dl = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I}{R^2}(2\pi R) = \frac{\mu_0 I}{2R}$$

在軸上距離中心 $z$ 處，每一小段的貢獻有一個分量互相抵消，僅餘沿軸的分量：

$$B(z) = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$$

下方的小工具以多邊形線圈代替圓環，每一邊依必歐－沙伐定律計算，再予以加總。邊數越多越接近圓環。

安培定律與環路積分

電流穩定時，必歐－沙伐定律適用於任何形狀的導線，但積分往往繁複。電流分布具對稱性時，有較簡便的方法。

沿封閉環路，將磁場在路徑方向的分量乘上小段長度並加總，稱為環路積分。安培定律指出：

$$\oint \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$$

$I_{\text{enc}}$ 是穿過環路的電流代數和，方向以右手定則決定正負。環路的形狀、大小皆不影響結果，環路外的電流也不影響結果。外部電流會改變環路上的 $\vec{B}$，但繞行一周後其貢獻恰好為零。

以圓形環路驗算長直導線：環路上 $B$ 大小相同且沿切線，因此 $B(2\pi d) = \mu_0 I$，得到 $B = \mu_0 I/(2\pi d)$。

適用條件：此形式只適用於穩定（不隨時間變化）的電流，且電流須為連續封閉的迴路。電流隨時間變化時（例如電容充電），須加上一項，將於第 36 課討論。

此外，定律成立與便於應用是兩件事。定律對任何環路皆成立，但只有環路上的 $B$ 能提出積分號外時（對稱性足夠），才能直接解出 $B$。這與高斯定律的情形相同。

螺線管

將導線緊密繞成長線圈，即為螺線管（solenoid）。每一匝相當於一個圓環，管內的磁場幾乎都沿軸向疊加，管外則相互抵消而很弱。

理想情況為無限長、密繞。取一個矩形環路，一邊在管內、一邊在管外，$N$ 匝穿過長度 $\ell$，管外 $B \approx 0$，垂直的兩邊 $\vec{B}\cdot d\vec{l} = 0$，安培定律給出：

$$B\ell = \mu_0 N I \quad\Rightarrow\quad B = \mu_0 n I, \quad n = \frac{N}{\ell}$$

$n$ 為每公尺的匝數。理想結果中不含半徑，也與管內位置無關：管內為均勻磁場。

真實的螺線管長度有限，公式僅為近似。下方的小工具將每一匝視為圓環，以前述的軸上公式加總，可直接觀察有限長度的差別：細長螺線管的管口，磁場僅約為中心的一半，因為管口只有一側有線圈。

磁鐵的磁性也可由此延伸：磁性材料中，電子的自旋與軌道運動形成許多微小的磁偶極，排列整齊時相當於許多小電流圈。自旋是量子性質，並非電子實際自轉。

重點整理

• 電流產生環繞的磁場，磁力線是封閉曲線，方向由右手定則判斷
• 穩定電流的基本規則是必歐－沙伐定律：$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\,d\vec{l}\times\hat{r}}{r^2}$，整體的磁場須積分求得
• 長直導線 $B = \mu_0 I/(2\pi d)$；圓環中心 $B = \mu_0 I/(2R)$；理想螺線管 $B = \mu_0 nI$（無限長、密繞；細長的真實螺線管，管口約為中心的一半）
• 安培定律 $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$（穩定電流）：環路形狀不影響結果，環路外的電流也不影響積分（但會影響 $\vec{B}$）；具對稱性時才能直接解出 $B$
• 平行導線同向相吸、反向相斥，$F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$

下一課討論相反的問題：磁場如何產生電流。進一步內容請參閱讀本的電磁感應與電磁波，下一課將會用到。