電磁感應

磁通量與法拉第定律

電流會產生磁場，但靜置的磁鐵並不產生電流：將強力磁鐵放在線圈旁並接上電表，指針完全不動。

1831 年，法拉第（Michael Faraday）在英國皇家研究院以鐵環繞上兩組線圈進行實驗。一組接電池，另一組接電流計。電流穩定時電流計沒有反應，只有在接通或切斷電流的瞬間，指針才短暫偏轉。關鍵不在磁場大小，而在磁場正在改變。

為描述此現象，先定義磁通量（magnetic flux），即穿過一個面的磁力線總量：

$$\Phi = \int \vec{B}\cdot d\vec{A}$$

均勻磁場穿過平面時簡化為 $\Phi = BA\cos\theta$，$\theta$ 是磁場與面的法線的夾角，單位為韋伯（Wb），$1\ \text{Wb} = 1\ \text{T}\cdot\text{m}^2$。

法拉第定律：$N$ 匝線圈產生的感應電動勢，等於總磁通量變化率的負值：

$$\mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt}$$

$\frac{d\Phi}{dt}$ 即 $\Phi$ 對時間的導數，亦即磁通量每秒的變化量。因此改變磁通量有三種方式：改變 $B$、面積 $A$ 或夾角 $\theta$。

負號是冷次定律（Lenz's law）：感應電流的方向，使其產生的磁場抵抗磁通量的變化。注意抵抗的是變化，而非磁場本身：磁通量減少時，感應電流的磁場與原磁場同向，以補償減少的磁通量。

電動勢與磁通量變化的關係僅取決於前後的總量。將法拉第定律對時間積分：

$$\int \mathcal{E}\,dt = -N\Delta\Phi$$

推近得快時，電動勢尖峰大但時間短；推近得慢時，尖峰小但時間長；曲線下的面積相同。因此平均電動勢為 $\bar{\mathcal{E}} = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$。

下方的小工具將磁鐵視為點狀磁偶極，軸上距離 $z$ 的線圈磁通量為 $\Phi = \frac{\mu_0 m R^2}{2(R^2 + z^2)^{3/2}}$（可對照第 33 課圓環軸上磁場的形式）。磁矩 $m$ = 1 A·m² 為示意值，約為邊長 1 cm 強力磁鐵的量級。真實磁鐵有大小，距線圈很近時會與此模型有差異。

冷次定律與能量守恆

上述結果有一個共同點：感應電流總是阻礙造成它的運動。推近時線圈排斥磁鐵；拉遠時方向相反，線圈吸引磁鐵。

若負號相反，磁鐵靠近時線圈反而吸引磁鐵；磁鐵速度越來越大，電流也越來越大，能量憑空出現，違反能量守恆。因此冷次定律並非獨立的定律，而是能量守恆在電磁感應中的表現：產生電能必須付出推動磁鐵的功。

另一點常被略過：線圈靜止、磁場變化時，電荷同樣受到推動。磁力只作用於運動電荷，而此處電荷原本靜止，因此推動電荷的是變化的磁場所產生的感應電場：$\oint\vec{E}\cdot d\vec{l} = -\frac{d\Phi}{dt}$。此電場的環路積分不為零，因此它對電荷的力不是保守力，無法定義單一的電位。這條關係將成為第 36 課四條方程式之一。

動生電動勢與滑桿的能量分析

改變磁通量的第二種方式是改變面積。兩條平行導軌間距 $L$，一端接電阻 $R$，其上放置一根滑桿，均勻磁場 $B$ 垂直穿入畫面。滑桿以 $v$ 向右運動，迴路面積每秒增加 $Lv$：

$$\lvert\mathcal{E}\rvert = \frac{d\Phi}{dt} = B\frac{dA}{dt} = BLv$$

也可由另一角度分析：滑桿中的正電荷隨之以 $v$ 向右運動，受到勞侖茲力 $qvB$，方向沿滑桿向上。此力將電荷沿桿推過長度 $L$，每單位電荷獲得 $vBL$，結果同為 $BLv$。兩種算法結果相同，此處的電動勢稱為動生電動勢（motional emf）。

這與「磁力不做功」並不矛盾。電荷沿桿移動後多了一個向上的速度，磁力也多了一個向左的分量，此分量對向右的速度做等量的負功，因此磁力的淨功為零。這些向左的分量合起來即下述的 $ILB$，外力須與之平衡，能量來自外力。

電流 $I = BLv/R$。滑桿載流，在磁場中受力 $F = ILB$，方向向左，即冷次定律所述的阻礙。要維持等速，外力須等於此磁力：

$$F_{\text{外}} = ILB = \frac{B^2L^2v}{R}$$

外力的功率與電阻的發熱率為：

$$P_{\text{外}} = F_{\text{外}}v = \frac{B^2L^2v^2}{R}, \qquad P_{\text{熱}} = I^2R = \frac{B^2L^2v^2}{R}$$

兩者完全相等。磁力本身不做淨功，僅將外力所做的功轉移到電路中。

若改為固定外力，滑桿由靜止加速，磁力隨 $v$ 增大，最後合力為零，達到終端速度 $v_T = \frac{FR}{B^2L^2}$。若釋放後滑行，動能全部轉為電阻的熱，滑桿持續減速，$v(t) = v_0 e^{-t/\tau}$，$\tau = \frac{mR}{B^2L^2}$。概念與第 5 課的終端速度相同：阻力隨速度增大。這是可用分離變數求解的一階微分方程式。

發電機

第三種方式是改變夾角。$N$ 匝、面積 $A$ 的線圈在均勻磁場 $B$ 中以角速度 $\omega$ 轉動，$\theta = \omega t$：

$$N\Phi = NBA\cos\omega t \quad\Rightarrow\quad \mathcal{E} = -N\frac{d\Phi}{dt} = NBA\omega\sin\omega t$$

這是交流電的來源。電動勢的尖峰值為 $NBA\omega$，與轉速成正比。臺灣電網的頻率為 60 Hz。

注意相位：線圈正對磁場時，磁通量最大，電動勢卻為零，因為該瞬間磁通量的變化率為零。線圈轉到與磁場平行時，磁通量為零，電動勢卻最大。這正是 $\cos$ 與其導數 $\sin$ 的關係。

發電的能量來自推動線圈的外力。線圈接上負載後有電流，電流在磁場中受力，形成阻礙轉動的力矩。負載越大，阻礙力矩越大，須消耗更多燃料或使用更多水力、風力推動。未接負載時電流為零，推動幾乎不需做功。

馬達是發電機的逆向運作。第 32 課留下的問題至此可以回答：馬達的線圈轉動時會產生抵抗電源的反電動勢，電源推動電流須對抗它而做功，這些功轉為馬達輸出的機械能。

變壓器與渦電流

法拉第的鐵環即變壓器的雛形。兩組線圈繞在同一個鐵芯上，一次線圈 $N_p$ 匝接交流電，鐵芯中的磁通量隨之變化，二次線圈 $N_s$ 匝便產生感應電動勢。

理想變壓器的條件是：磁通量完全不外洩、線圈沒有電阻、鐵芯沒有損耗，且激磁電流可忽略（一次線圈電感夠大）。此時每一匝的電動勢相同，因此：

$$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}, \qquad V_pI_p = V_sI_s$$

電壓升高的倍數等於電流降低的倍數。真實變壓器有損耗，比值僅為近似。

有兩點須注意。第一，變壓器須使用交流電：直流電穩定時磁通量不變，二次線圈沒有電動勢，本課開頭法拉第的實驗即此結果；實務上更不可將一次線圈接直流，因線圈只剩很小的電阻，電流會很大。第二，二次的負載決定電流，$I_p$ 隨 $I_s$ 而定，而非相反。

輸電升壓的原因：傳送功率 $P = VI$ 固定時，電壓越高電流越小，電線上的損失 $I^2r$ 越小。電壓升高 10 倍，電流降為 1/10，損失降為 1/100。

渦電流（eddy current）：塊狀金屬在變化的磁場中，即使沒有線圈也會感應出環繞的電流。渦電流會發熱，也會受磁力阻礙運動。變壓器的鐵芯以絕緣的矽鋼片疊成，目的是切斷這些電流、減少損耗；另一方面，電磁爐利用鍋底的渦電流加熱，渦流煞車則利用其阻力。

重點整理

• 磁通量 $\Phi = \int\vec{B}\cdot d\vec{A}$；法拉第定律 $\mathcal{E} = -N\,d\Phi/dt$，取決於變化率，而非磁通量本身
• 冷次定律：感應電流抵抗磁通量的變化，而非磁場本身；這是能量守恆的結果
• $\int\mathcal{E}\,dt = -N\Delta\Phi$ 僅取決於起點與終點；推近較快時尖峰大、時間短，面積相同
• 變化的磁場伴隨環路積分不為零的感應電場，它對電荷的力不是保守力
• 滑桿（$B$、$L$、$v$ 互相垂直）$\mathcal{E} = BLv$；等速時外力功率等於電阻發熱率 $B^2L^2v^2/R$
• 線圈在均勻磁場中等速轉動：$\mathcal{E} = NBA\omega\sin\omega t$，磁通量最大時電動勢為零
• 理想變壓器（無磁漏、線圈無電阻、鐵芯無損耗、激磁電流可忽略）：$V_s/V_p = N_s/N_p$，$V_pI_p = V_sI_s$；只能用交流；功率固定時升壓能降低 $I^2r$ 損失

下一課將線圈接回電路：線圈也會對自身產生感應，即電感。自由調整參數可使用 Uedu Science 的電磁感應與變壓器模擬，文字說明請參閱電磁感應與電磁波。