電感與交流電路

自感與電感

拔除運轉中吸塵器的插頭時，有時會出現小火花：電路已斷開，電流仍跨越空氣。

上一課的線圈感應的是外來的磁通量。線圈本身的電流也會產生磁場，其磁通量穿過線圈本身。電流改變時，線圈本身的磁通量隨之改變，線圈因而對自身產生電動勢，稱為自感。總磁通量與電流成正比，比例常數稱為電感（inductance）$L$：

$$N\Phi = Li, \qquad \mathcal{E} = -L\frac{di}{dt}$$

單位為亨利（H），$1\ \text{H} = 1\ \text{V}\cdot\text{s}/\text{A}$。$\frac{di}{dt}$ 是電流的變化率。空心線圈的電感只與幾何有關，加上鐵芯會變大。長度 $\ell$、截面積 $A$、每公尺 $n$ 匝的長螺線管，代入 $B = \mu_0 nI$ 得到：

$$L = \mu_0 n^2 A\ell$$

負號代表電感抵抗電流的變化：電流增大時，電感予以抵抗；電流減小時，電感使其維持。這與質量抵抗速度的變化相似。切斷開關時，電流須在極短時間內變為零，$di/dt$ 很大，電感兩端的電壓也很大，因此產生火花。

接上電池的 RL 電路：迴路定律給出 $V - iR - L\frac{di}{dt} = 0$，解為：

$$i(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right), \qquad \tau = \frac{L}{R}$$

數學形式與第 31 課的 RC 電路相同。不同之處在於，RC 電路中電容的電壓不能瞬間改變，RL 電路中電感的電流不能瞬間改變。

電感儲存能量。將電流由 0 增加到 $I$，電源對抗自感須做功 $\int Li\,di$：

$$U = \frac{1}{2}LI^2$$

能量儲存於磁場中。就螺線管而言，代入 $L$ 與 $B$ 再除以體積，得到磁場的能量密度 $u = \frac{B^2}{2\mu_0}$。

LC 振盪

將充飽的電容接上電感（先假設沒有電阻）。電容放電，電流逐漸增大，電感將能量儲存於磁場；電容放電完畢時電流最大，但電感使電流無法立刻停止，繼續對電容反向充電。此過程持續往復。

以方程式表示，迴路定律為 $L\frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0$，$i = \frac{dq}{dt}$：

$$L\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{1}{C}q = 0$$

這與彈簧振子 $m\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ 形式完全相同，只是符號不同（二階微分方程式）：

因此結果可直接沿用：$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$，$T = 2\pi\sqrt{LC}$。電荷與電流相差四分之一週期，如同位移與速度。加上電阻 $R$ 即為阻尼振動（第 18 課），能量逐漸轉為電阻的熱。真實的線圈都有電阻，不接電源時振盪必定衰減。

交流電路：相量與阻抗

接上交流電源後，經過一段時間暫態消失，電流成為相同頻率的弦波。串聯電路中電流處處相同，因此以電流為相位零點：令 $i = I_0\cos\omega t$，電源電壓則寫成 $v = V_0\cos(\omega t + \phi)$，$\phi$ 待求。三個元件的電壓如下：

• 電阻：$v_R = RI_0\cos\omega t$，與電流同相
• 電感：$v_L = L\frac{di}{dt} = -\omega LI_0\sin\omega t = \omega LI_0\cos(\omega t + 90^\circ)$，領先電流 90 度
• 電容：$q = \int i\,dt = \frac{I_0}{\omega}\sin\omega t$，$v_C = \frac{I_0}{\omega C}\cos(\omega t - 90^\circ)$，落後電流 90 度

原因在於微分使弦波相位超前 90 度，積分使其落後 90 度。電感與電容的大小分別為 $X_L = \omega L$、$X_C = \frac{1}{\omega C}$，稱為電抗，單位為歐姆。頻率越高，電流越難通過電感；頻率越低，電流越難通過電容。

將三個電壓畫成箭頭（相量，phasor），長度為振幅，角度為相位，三者之和即電源電壓。$V_L$ 與 $V_C$ 方向相反，因此：

$$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}, \qquad I_0 = \frac{V_0}{Z}, \qquad \tan\phi = \frac{X_L - X_C}{R}$$

$Z$ 稱為阻抗，$\phi > 0$ 表示電壓領先電流。

有效值：家用電標示的電壓為有效值（rms），弦波的 $V_{\text{rms}} = V_0/\sqrt{2}$。臺灣家用常見的 110 V、60 Hz，實際的峰值約 156 V。電路的平均功率為 $\bar{P} = V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\phi = I_{\text{rms}}^2R$：理想的電感與電容不消耗能量，只是往復吸收與釋放。

共振：$X_L = X_C$ 時兩個電抗抵消，$Z$ 最小（等於 $R$），電流最大，電壓與電流同相：

$$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}$$

與 LC 振盪的頻率相同。共振時電感與電容各自的電壓為電源電壓的 $Q$ 倍，$Q = \frac{\omega_0 L}{R} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$，可遠大於電源電壓；由於兩者反相，相加恰好抵消，因此並未違反迴路定律，也未違反能量守恆。

調諧電路與選台

天線同時接收許多電台的訊號，各電台頻率不同。將天線接上 LC 串聯電路，只有頻率接近 $f_0$ 的訊號能產生大電流，其他頻率受阻抗抑制。轉動選台鈕即改變電容（或電感），使 $f_0$ 對準目標電台。

僅對準頻率並不足夠，還須能排除鄰台。共振曲線的寬度由 $Q$ 決定，電流降至最大值的 $1/\sqrt{2}$（亦即功率降至一半）之間的頻寬為：

$$\Delta f = \frac{f_0}{Q} = \frac{R}{2\pi L}$$

$R$ 越小，$Q$ 越大，曲線越尖，選擇性越好。但 $R$ 改變的是寬度，不改變 $f_0$。

下方的小工具為簡化模型：$L$ = 250 μH，AM 廣播的載波約在 1 MHz 附近，假設各電台在天線上的電壓相同。真實的收音機還有多級放大與混頻，此處只考慮第一級的調諧電路。

重點整理

• 自感 $\mathcal{E} = -L\,di/dt$，電感抵抗電流的變化，電流不能瞬間改變
• RL 電路 $i = \frac{V}{R}(1 - e^{-t/\tau})$，$\tau = L/R$；電感儲能 $\frac{1}{2}LI^2$，能量密度 $B^2/(2\mu_0)$
• 沒有電阻的 LC 振盪 $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$，對應彈簧振子：$L$ 對應 $m$，$1/C$ 對應 $k$；能量在電場與磁場之間交換；有電阻時能量逐漸轉為熱
• 交流穩態下，電感電壓領先電流 90 度，電容電壓落後 90 度；$X_L = \omega L$，$X_C = 1/(\omega C)$，$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$
• 弦波的有效值是峰值除以 $\sqrt{2}$；平均功率 $V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\phi$，只有電阻消耗能量
• 串聯 RLC 的電流在 $\omega_0$ 最大，$Z = R$；$Q = \omega_0 L/R$ 決定曲線的尖銳程度，$\Delta f = f_0/Q$

下一課整合電與磁：四條方程式與電磁波的存在。自由調整參數可使用 Uedu Science 的 RLC 模擬。