馬克士威方程組與電磁波

由電磁常數計算光速

庫侖定律裡的 $\varepsilon_0$ 可以用電荷與電力測量，安培定律裡的 $\mu_0$ 可以用電流與磁力測量。這些實驗都與光無關。然而將這兩個數值依下式計算：

$$\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{(1.2566\times 10^{-6})(8.854\times 10^{-12})}} \approx 2.998\times 10^{8}\ \text{m/s}$$

所得結果正是光速。1865 年，馬克士威（James Clerk Maxwell）在其電磁場理論中指出，電場與磁場可以形成以這個速率前進的波，並由此主張光是電磁波。1887 到 1888 年間，赫茲（Heinrich Hertz）在實驗室中以火花電路產生並接收到這種波，測得的波速也符合預測。

本課說明這項推論。推論的起點是四條方程式，合稱馬克士威方程組：

其中電場的高斯定律和法拉第定律已在先前課程計算過，磁場的高斯定律在此首次正式寫出。第四條是在第 33 課的安培定律加上一項 $\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$，即馬克士威引入的位移電流，也是電磁波得以存在的關鍵。

電容充電時安培定律的矛盾

第 33 課已指出，$\oint\vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}$ 只適用於穩定、連續的電流。以下討論電流不連續的例子：電容充電時，導線有電流 $I$，但兩片極板之間為空隙，沒有電荷流過。

在導線旁取一個環路。安培定律裡的 $I_{\text{enc}}$ 是「穿過以環路為邊界的面」的電流，而同一個環路可以對應不同的面：

• 面 1：環路圍成的平面，導線穿過此面，$I_{\text{enc}} = I$
• 面 2：呈袋狀隆起，從兩片極板之間通過，沒有導線穿過此面，$I_{\text{enc}} = 0$

同一個環路、同一個 $\oint\vec{B}\cdot d\vec{l}$，卻得到兩個結果，可見定律缺少一項。

關鍵在極板之間：該處的電場正在增大。平行板之間 $E = \frac{q}{\varepsilon_0 A}$，因此通過面 2 的電通量是 $\Phi_E = EA = q/\varepsilon_0$，對時間微分：

$$\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} = \frac{dq}{dt} = I$$

恰好等於導線電流。將這一項視為電流的一部分，兩個面的結果便一致。這一項稱為位移電流，但並沒有電荷從極板之間流過，此名稱沿用自歷史。

環路位於極板之間、半徑 $r$ 小於極板半徑 $a$ 時，環路只圍住一部分電通量，位移電流只有 $I\frac{r^2}{a^2}$（電場均勻，忽略邊緣效應），因此 $B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2}$，$r$ 越大磁場越強；$r > a$ 時則回到 $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$。

下面的小工具採用真實尺寸：極板半徑 5 cm、間距 1 mm，電容由幾何尺寸算出，經 1 kΩ 接上 1000 V 充電。位移電流由電通量的數值微分求得，並非直接取用導線電流。

電磁波的推導

考慮真空，其中沒有電荷也沒有電流。假設電場只有 $y$ 分量、磁場只有 $z$ 分量，都只隨 $x$ 和 $t$ 變化。對 $x$-$y$ 平面上一個極窄的小長方形應用法拉第定律，對 $x$-$z$ 平面上一個極窄的小長方形應用安培－馬克士威定律，再令長方形縮小，得到兩條偏微分方程式：

$$\frac{\partial E}{\partial x} = -\frac{\partial B}{\partial t}, \qquad \frac{\partial B}{\partial x} = -\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$$

其物理意義是：電場在空間上的不均勻決定磁場隨時間的變化，磁場在空間上的不均勻決定電場隨時間的變化。將第一條對 $x$ 微分、第二條對 $t$ 微分，消去 $B$：

$$\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$

這是波動方程式的標準形式。將任意形狀的 $E = f(x - vt)$ 代入，左邊為 $f''$，右邊為 $\mu_0\varepsilon_0 v^2 f''$，因此波速必為 $v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}$。若沒有位移電流項，第二條會變成 $\partial B/\partial x = 0$，波便不存在。

下面的小工具並未預先設定光速。它將空間分割為每格 10 cm，僅以上述兩條式子逐步更新電場和磁場，波速由探針測得。材料的相對介電常數 $\varepsilon_r$ 只改變第二條式子中的 $\varepsilon_0 \to \varepsilon_r\varepsilon_0$（$\mu$ 維持 $\mu_0$）。

平面電磁波的性質

將 $E = E_0\cos(kx - \omega t)$ 代回 $\frac{\partial E}{\partial x} = -\frac{\partial B}{\partial t}$，得到 $B = \frac{E_0}{c}\cos(kx - \omega t)$。因此真空中的平面電磁波具有下列性質：

• $\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 互相垂直，也都垂直於傳播方向，是橫波
• 同相：真空平面波中，電場最大時磁場也最大，兩者同時過零
• 大小比固定：$E = cB$。SI 單位下 $c$ 很大，因此 $B$ 的數值顯得很小，這是單位造成的結果，就能量而言兩者同等重要
• 傳播方向是 $\vec{E}\times\vec{B}$ 的方向
• 波速由 $c = f\lambda$ 連結頻率和波長，頻率由波源決定

不需要介質：這些方程式在真空中成立，因此電磁波可以穿越太空。

能量：電場與磁場的能量密度是 $u_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0E^2$、$u_B = \frac{B^2}{2\mu_0}$，代入 $E = cB$ 可以驗證兩者相等。能量流以坡印廷向量（Poynting vector）描述，即單位時間通過單位面積的能量：

$$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\vec{E}\times\vec{B}, \qquad \bar{S} = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c}$$

$\bar{S}$ 是一個週期的平均值，即強度。太陽光在地球大氣層外的強度約 1361 W/m²，換算得 $E_0$ 約 1000 V/m、$B_0$ 約 3.4 μT。電磁波也帶有動量，完全吸收時的光壓是 $\bar{S}/c$，太陽光約 $4.5\times 10^{-6}$ Pa，日常無法察覺。

電磁波譜是同一種波的不同頻率。各區段的界線屬於約定，不同來源略有差異：

本課的電磁波是古典的連續波。光也具有粒子性的一面（光子），將於第 40 課討論，但這並未推翻上述方程式在古典範圍的適用性。

重點整理

• 四條方程式：電荷是電場的源頭；目前沒有觀測到單獨的磁荷；磁通量變化伴隨環繞的電場；電流與電通量的變化伴隨環繞的磁場
• 位移電流 $\varepsilon_0\,d\Phi_E/dt$ 解決電容充電時兩個面結果不一致的矛盾，它不是電荷的流動
• 真空中由法拉第定律與安培－馬克士威定律推出波動方程式，波速 $c = 1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0} \approx 2.998\times 10^8$ m/s；若沒有位移電流，波便不存在
• 真空平面波：$\vec{E}$、$\vec{B}$、傳播方向兩兩垂直，$\vec{E}$ 與 $\vec{B}$ 同相，$E = cB$，傳播方向是 $\vec{E}\times\vec{B}$
• 強度 $\bar{S} = E_0^2/(2\mu_0 c)$；$u_E = u_B$；電磁波不需要介質
• 可見光、無線電波、X 射線都是電磁波，差別在頻率

下一課討論光的反射、折射與成像。文字版內容請參閱電磁感應與電磁波。