反射、折射與成像

折射現象與折射率

筷子斜插入水杯時，水面以下的部分看似向上偏折，猶如在水面折斷。筷子本身並未改變，改變的是光的路徑：光由水進入空氣時發生偏折，而眼睛仍依直線傳播判斷，因此看到的位置與實際位置不同。

光發生偏折的原因是光在介質中的速度較慢。定義折射率（refractive index）：

$$n = \frac{c}{v}$$

$c$ 是真空中的光速，$v$ 是光在該介質中的速度。水的 $n$ 約 1.33，常見玻璃約 1.5，鑽石約 2.42，空氣約 1.0003（下面的小工具以 1.00 計）。這些數值皆隨波長略有變化，將於後文討論。

十七世紀的費馬提出一項主張，今日稱為費馬原理（Fermat's principle）：光由 A 到 B 所經的路徑，是所需時間取極值的路徑。在下述情境中，此極值為最小值。注意時間最少不等於路徑最短：救生員救援水中的人時，因岸上速度較快，不會沿直線前進，而會在岸上多跑一段距離。

時間等於距離除以速度，$t = \frac{d}{v} = \frac{n d}{c}$，因此比較時間等同於比較光程 $n d$。

司乃耳定律的推導

上述結果可由微分證明。A 距界面高度 $a$，B 在界面下方 $b$，兩者水平距離 $D$，P 與 A 的水平距離為 $x$。光程為

$$L(x) = n_1\sqrt{a^2 + x^2} + n_2\sqrt{b^2 + (D-x)^2}$$

最小值發生在導數等於 0 之處，亦即 $x$ 微小移動時，光程幾乎不變：

$$\frac{dL}{dx} = n_1\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}} - n_2\frac{D-x}{\sqrt{b^2+(D-x)^2}} = 0$$

兩個分數分別為 $\sin\theta_1$ 和 $\sin\theta_2$，得到司乃耳定律（Snell's law）：

$$n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$$

角度由法線（垂直於界面的線）量起，而非由界面量起。進入折射率較大的介質時，光線偏向法線；進入折射率較小的介質時，光線偏離法線。

反射定律同樣可由時間最少推出：入射角等於反射角。

光入射界面時，反射和折射同時發生，能量分為兩部分。垂直入射玻璃時約有 4% 反射，因此玻璃窗上可見淡淡的倒影。入射角越大，反射的比例越高。

光進入介質時頻率不變（波峰到達界面的速率不能在界面上堆積），速度變慢，因此波長變短：$\lambda_n = \lambda / n$。

全反射、光纖與色散

光由折射率大的介質射向折射率小的介質（$n_1 > n_2$）時，折射角比入射角大。入射角增加至某一值時，折射角達到 90 度，此入射角稱為臨界角：

$$\sin\theta_c = \frac{n_2}{n_1}$$

入射角大於臨界角時，沒有折射光，所有能量都反射回來，稱為全反射（total internal reflection）。全反射的兩個條件缺一不可：光須由折射率大的一側入射，且入射角大於臨界角。光由空氣射向水，不論角度多大都不會發生全反射。

光纖即利用全反射。核心的折射率比外層略大，光以很小的角度沿光纖前進，每次到達邊界時都超過臨界角，因此能量保留在核心內，可傳送很遠的距離。折射率的差距很小時，可被導引的入射角範圍也小：例如核心 1.48、外層 1.46（示意值），從空氣射入的最大入射角滿足 $\sin\theta = \sqrt{1.48^2 - 1.46^2}$，約 14 度。

色散（dispersion）是折射率隨波長變化的現象。水在 20°C 時，藍光（486 nm）約 1.3375，紅光（656 nm）約 1.3315；常見的光學玻璃 N-BK7，藍光約 1.5224，紅光約 1.5143。藍光折射率較大，偏折較多，因此稜鏡和水滴會將白光分開。差距僅千分之幾，折射角僅差零點幾度，但傳播距離夠遠時即可辨識。

薄透鏡公式

透鏡的兩面都是曲面，光線在兩個表面各折射一次。對於靠近光軸、角度很小的光線（傍軸近似），且透鏡的厚度可以忽略時，整個透鏡的效果可由一條規則描述：高度 $h$ 的光線通過透鏡後，斜率改變 $-h/f$。

$$s_{\text{出}} = s_{\text{入}} - \frac{h}{f}$$

$f$ 是焦距。平行光軸的光（$s_{\text{入}} = 0$）出射的斜率為 $-h/f$；$f > 0$ 時，這些光線在距離 $f$ 處全部通過光軸，此點即焦點。通過中心的光線（$h = 0$）則不偏折。

由光軸上距透鏡 $s_o$ 的一點發出的光線，到達透鏡時高度為 $h$，因此入射斜率為 $h/s_o$。出射後經距離 $s_i$ 回到光軸，該處即像的位置：

$$h + s_i\left(\frac{h}{s_o} - \frac{h}{f}\right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}$$

$h$ 已消去：無論光線到達透鏡的高度為何，都交於同一點，因此能夠成像。這是傍軸近似才有的結果；角度大時光線不會完全交於一點，稱為像差。

放大率 $m = -s_i / s_o$，由通過中心的光線和相似三角形求得。

本課程的符號慣例：

實像是光線實際交會之處，置放紙張即可看見；虛像只是光線的反向延長線交會，光並未到達該處，紙上無法呈現，但眼睛可以看見。放大鏡所見即為虛像。

繪製主光線可不依賴公式而找到像。三條中只需兩條，第三條用於檢查。

• 會聚透鏡：平行光軸的光出射後通過焦點；通過中心的光不偏折；通過前焦點的光出射後平行光軸
• 發散透鏡：平行光軸的光出射後發散，反向延長線通過入射側的焦點；通過中心的光不偏折；朝向對側焦點入射的光出射後平行光軸

面鏡與視力矯正

面鏡以反射取代折射，公式相同：$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}$。球面鏡的焦距是曲率半徑的一半，$f = R/2$，同樣是傍軸近似。

差別在於實像的位置：面鏡的光線經反射而返回，因此實像與物體在同一側，虛像則在鏡後。

• 凹面鏡（$f > 0$）：物體比焦點遠時成實像，比焦點近時成放大的虛像。化妝鏡即是將臉置於焦距之內
• 凸面鏡（$f < 0$）：恆為正立縮小的虛像，可見範圍較廣，因此用於路口轉角和車輛的側後視鏡
• 平面鏡是 $f \to \infty$ 的特例：$s_i = -s_o$，$m = 1$

眼睛的水晶體和角膜合為會聚透鏡，像須落在視網膜上。

• 近視：眼睛的折射過強（或眼軸過長），遠方物體的像落在視網膜前方。配戴發散鏡片（$f < 0$），使無窮遠的物體看似位於遠點上：$f = -d$，$d$ 是遠點距離
• 遠視：折射不足，近處物體的像落在視網膜後方，配戴會聚鏡片

眼鏡的度數是屈光度 $D = 1/f$（$f$ 以公尺計）的 100 倍，因此 $-2$ D 即 200 度近視。這是忽略鏡片與眼睛距離的簡化；實際驗光須考慮更多因素。

重點整理

• 費馬原理：光的路徑使時間取極值；由此得到 $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$ 與反射定律，角度由法線量起
• 全反射須同時滿足：由折射率大的一側入射、入射角大於臨界角 $\sin\theta_c = n_2/n_1$；光纖以此導光
• 折射率隨波長變化造成色散，藍光通常偏折較多
• 傍軸、薄透鏡：$\frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i} = \frac{1}{f}$，$m = -s_i/s_o$；面鏡公式相同，$f = R/2$，實像與物體在同一側
• 實像是光線實際交會，虛像僅反向延長線交會；符號須前後一致

下一課討論幾何光學未涵蓋的部分：光是波，會發生干涉和繞射。延伸閱讀：讀本的幾何光學；自由調整參數可使用 Uedu Science 的折射與透鏡模擬。