干涉、繞射與偏振

光的干涉

肥皂泡上的彩色、光碟片背面的彩虹、雷射通過細縫後在牆上形成的亮暗條紋，都無法由幾何光學解釋：若光只是直線前進的「光線」，兩束光疊加應該只會更亮。

光是波，波可以抵銷。兩道波的波峰與波峰相遇時互相加強，稱為建設性干涉；波峰與波谷相遇時互相抵銷，稱為破壞性干涉。

惠更斯提出一種描述方法：波前上每一點都可視為新的小波源，向前發出球面子波，所有子波疊加即為之後的波。光通過一條細縫時，細縫如同一個新的波源，光向四周散開，稱為繞射（diffraction）。

雙狹縫實驗結合這兩種現象。一道單色光照射相距 $d$ 的兩條細縫，後方距離 $L$ 的屏幕上出現明暗相間的條紋。Thomas Young 最早的版本是以一張細紙卡將一束光分成兩半；兩條狹縫的版本見於其 1807 年出版的講義。他是否親手做過雙狹縫，史料並不明確。

屏上某一點與兩條狹縫的距離不同，差值稱為光程差。屏幕遠比 $d$ 大時，光程差約等於 $d\sin\theta$，$\theta$ 是該點相對於中央的方向：

$$d\sin\theta = m\lambda \quad\text{（亮紋，}m = 0, \pm 1, \pm 2, \dots\text{）}$$

$$d\sin\theta = \left(m + \tfrac{1}{2}\right)\lambda \quad\text{（暗紋）}$$

角度很小時 $\sin\theta \approx \tan\theta = y/L$，因此相鄰亮紋的間距為：

$$\Delta y = \frac{\lambda L}{d}$$

此式說明實驗可行的原因：光的波長僅數百奈米，但只要 $L$ 遠大於 $d$，便放大為數毫米的條紋。

要觀察到穩定的條紋，兩道光的相位差須固定（同調）。以同一道光分成兩條狹縫即為此目的。

單狹縫與繞射極限

狹縫本身有寬度 $a$，縫內每一點都是子波源。將縫分割為許多小段，每段對應一支相位向量；朝某一方向時，相鄰向量之間有固定的相位差，箭頭連接成一段圓弧。方向越斜，圓弧的彎曲越大。

當縫的上緣和下緣的光程差恰為一個波長時，箭頭形成一個完整的圓，合成為 0，因此第一個暗處位於：

$$a\sin\theta = \lambda$$

此式與雙狹縫的亮紋條件形式相似，意義完全不同：此處是暗。將縫內所有子波相加（即積分，分割越細越準確）得到強度：

$$I = I_0\left(\frac{\sin\beta}{\beta}\right)^2, \quad \beta = \frac{\pi a\sin\theta}{\lambda}$$

此公式是遠場的結果（夫朗和斐繞射），條件是屏距 $L \gg a^2/\lambda$，此時縫內各點到屏上同一點的方向可視為平行。例如 $a$ = 25 μm、$\lambda$ = 500 nm 時，$a^2/\lambda$ 約 1.25 mm，1 m 的屏距遠大於此值。

縫越窄，光散開的角度越大。這是波的基本性質，也限制了所有光學儀器的解析度。圓形孔徑（直徑 $D$）的繞射角約為

$$\theta \approx 1.22\frac{\lambda}{D}$$

兩個點光源的夾角小於此值時無法分辨（瑞利判據）。瞳孔直徑約 5 mm、波長 550 nm 時，此角度約 $1.3\times 10^{-4}$ 弧度。望遠鏡加大口徑，除了收集更多光，也是為了提高解析度。

光柵由許多條等距狹縫構成。亮紋位置與雙狹縫同為一式 $d\sin\theta = m\lambda$，但 $N$ 支箭頭只有在全部同向時才會累加，稍有偏離便形成環狀而抵銷，因此亮紋變得很細。不同波長的亮紋角度不同，因此可將光分開，光譜儀即以此測量波長。

薄膜干涉與半波損失

光入射薄膜時，上表面反射一部分，其餘進入膜內，在下表面再反射一部分，兩道反射光的路徑不同，因而互相干涉。肥皂泡的顏色由此產生：某些波長因建設性干涉而反射較強。

判斷加強或抵銷，須計算兩項。

光程差：下表面反射的光多經過膜內的往返路徑，膜的折射率為 $n_f$、厚度為 $t$，垂直入射時光程多 $2 n_f t$。

半波損失：光由折射率小的一側入射折射率大的介質而反射時，相位改變 $\pi$（相當於半個波長）；由折射率大的一側入射小的一側而反射時，相位不變；穿透的光相位也不變。

因此須分別討論：

抗反射鍍膜：氟化鎂（$n$ 約 1.38）鍍在玻璃（$n$ 約 1.52）上，最薄的條件是 $t = \frac{\lambda}{4 n_f}$。稱為四分之一波長膜。550 nm 時約 100 nm。

應注意一種常見的誤解：抗反射膜並未抵銷光的能量。能量守恆，反射減少，穿透即增加。

肥皂膜另有一項結論：膜極薄（$t \to 0$）時路徑差趨近 0，但有一次半波損失，兩道光抵銷，因此在極薄的極限下不反射，外觀呈黑色。

兩道光的振幅須接近才能完全抵銷。實際計算須計入多次反射，下面小工具的反射率即依此計算：氟化鎂只能將玻璃的反射由約 4.3% 降至約 1.3%，要降至 0 須使膜的折射率等於 $\sqrt{n_{\text{玻璃}}}$。

偏振與馬呂斯定律

干涉和繞射說明光是波，偏振進一步說明光是橫波：振動方向垂直於行進方向。縱波（如空氣中的聲音）沒有偏振現象。

太陽或燈泡的光是非偏振光，電場方向隨機變化。偏振片只讓沿穿透軸的電場分量通過。電場分量是 $E\cos\theta$，強度正比於電場平方，因此已偏振的光通過偏振片之後：

$$I = I_0\cos^2\theta$$

這是馬呂斯定律（Malus's law），$\theta$ 是光的偏振方向和穿透軸的夾角。非偏振光通過第一片時，$\cos^2\theta$ 對所有方向的平均值為 $\frac{1}{2}$，因此強度剩下一半。

兩片穿透軸垂直的偏振片疊合時，光完全無法通過。以下考慮在中間多插入一片傾斜 45 度的偏振片。

依直覺，濾光片越多應該越暗，但實際上光會變亮。第一片之後光的偏振方向為 0 度；中間片只保留 45 度方向的分量，出射光的偏振方向變為 45 度；最後一片與之僅差 45 度，因此又有分量可以通過：

$$I = \frac{I_0}{2}\cos^2 45^\circ\cos^2 45^\circ = \frac{I_0}{8}$$

偏振片不只是阻擋光，也將光投影到新的方向。若將 90 度分成許多小步，每一步損失很少，幾乎可以將偏振方向完全轉過去。

日常實例：水面和路面反射的光有部分偏振（以水平方向為主），偏光太陽眼鏡的穿透軸是鉛直的，因此可以減少反光。

重點整理

• 雙狹縫：$d\sin\theta = m\lambda$ 是亮紋；小角度時 $\Delta y = \lambda L / d$
• 單狹縫：$a\sin\theta = \lambda$ 是第一個暗處，縫越窄散開的角度越大；繞射限制解析度 $\theta \approx 1.22\lambda/D$
• 光柵的亮紋位置同雙狹縫，$N$ 越大越細
• 薄膜須計算光程差（垂直入射時為 $2 n_f t$）和半波損失：僅由折射率小入射折射率大的反射才有；抗反射膜 $t = \lambda/(4n_f)$（條件是 $n_{\text{空氣}} < n_f < n_{\text{玻璃}}$），能量轉為穿透，並非消失
• 偏振說明光是橫波；已偏振的光 $I = I_0\cos^2\theta$，非偏振光通過第一片剩下一半；中間多插入一片可使光通過

下一課進入狹義相對論：光速不變及其推論。延伸閱讀：讀本的光的波動、繞射光柵、偏振；也可使用 Uedu Science 的雙狹縫與偏振模擬自由調整參數。