連續與間斷
函數何時「畫得出來不斷筆」。
接續極限，本篇回答一個更精確的問題：函數在一點「沒有破洞、沒有跳躍、沒有爆炸」到底是什麼意思？答案是連續——而連續函數擁有一個威力強大的保證：中間值定理。
連續的定義：三個條件
$f$ 在 $x=a$ 連續，意思是三件事同時成立：
- $f(a)$ 有定義；
- $\lim_{x\to a}f(x)$ 存在（左右極限相等）；
- 兩者相等：$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$。
直觀說法就是「畫到 $a$ 的時候不必抬筆」。三個條件缺一不可——接下來的三種間斷，剛好各踩壞一條。
三種間斷
可移除間斷：$f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ 在 $x=2$——極限存在（等於 $4$）但 $f(2)$ 沒定義。圖形只是破了一個洞，補上定義 $f(2)=4$ 就修好了，故稱「可移除」。
跳躍間斷：$g(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 在 $x=0$——左極限 $-1$、右極限 $1$，圖形直接跳了一階。怎麼補定義都救不回來。
無窮間斷：$\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$——右邊衝向 $+\infty$、左邊衝向 $-\infty$，圖形貼著垂直漸近線爆走。
連續函數哪裡來
多項式處處連續；有理函數在分母不為零處連續；$\sin x$、$\cos x$、$e^x$ 處處連續；$\ln x$ 在 $x>0$ 連續。而且連續函數的加、減、乘、除（分母不為零）與合成仍然連續——所以你寫得出來的公式，幾乎都在它的定義域上連續。真正要小心的是分段定義的接縫處。
中間值定理（IVT）
若 $f$ 在 $[a,b]$ 連續，且 $N$ 介於 $f(a)$ 與 $f(b)$ 之間，則存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=N$。
直觀：不抬筆的曲線要從高度 $f(a)$ 走到高度 $f(b)$，中間每一個高度都必須經過。
用 IVT 證明方程式有解：$f(x)=x^3+x-1$ 是多項式（連續），$f(0)=-1<0$、$f(1)=1>0$，所以 $(0,1)$ 之間必定有一點 $c$ 使 $f(c)=0$——不必解方程式，就知道解存在（實際上 $c\approx 0.6823$）。
二分法：把 IVT 變成演算法
既然根在 $(0,1)$，查中點：$f(0.5)<0$，根就縮到 $(0.5,1)$；再查 $f(0.75)$……每查一次，包住根的區間砍半。這就是數值分析的二分法——計算機求根的起點，理論根據正是 IVT。
常見誤解
- 連續 $\neq$ 可微：$|x|$ 在 $0$ 連續但有尖角、不可微（見第三章）。
- $\dfrac{1}{x}$「在定義域內每一點都連續」，但它在 $x=0$ 沒定義，圖形仍斷成兩支——「連續」永遠是對「定義域內的點」說的。
用下方工具畫 $\dfrac{1}{x-1}$，觀察 $x=1$ 處的無窮間斷：垂直漸近線兩側各奔東西。