導數的定義與幾何意義

「這一瞬間，變化多快？」——導數就是這個問題的精確答案。本篇從割線斜率出發，走到導數的極限定義，最後把它接回物理世界：速度就是位置的導數。

平均變化率與割線

考慮 $f(x)=x^2$。從 $x=1$ 走到 $x=1+h$（$h\neq 0$），函數值的平均變化率是

$$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h$$

幾何上，這是通過 $(1,\,f(1))$ 與 $(1+h,\,f(1+h))$ 兩點的割線斜率。讓 $h$ 越來越小：

割線斜率一路逼近 $2$。

瞬時變化率與切線

當 $h\to 0$，兩個點靠在一起，割線的極限位置就是切線：

$$\lim_{h\to 0}(2+h)=2$$

所以 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 的瞬時變化率是 $2$；切線通過 $(1,1)$、斜率 $2$，方程式為 $y=2x-1$。

導數的定義（極限式）

把上面的過程寫成一般形式，就是導數的定義：

$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若這個極限存在，稱 $f$ 在 $a$ 點可微，$f'(a)$ 就是該點的切線斜率。對 $f(x)=x^2$ 在任意點 $x$：

$$\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{2xh+h^2}{h}=2x+h\;\xrightarrow[h\to 0]{}\;2x$$

所以 $\dfrac{d}{dx}x^2=2x$。常見記號有 $f'(x)$（拉格朗日記號）與 $\dfrac{dy}{dx}$（萊布尼茲記號），意思相同。

用定義再多算兩個

同一套流程——組差商、代數整理消掉 $h$、令 $h\to 0$——再練兩個經典：

$f(x)=\dfrac{1}{x}$：

$$\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}=\frac{x-(x+h)}{h\,x(x+h)}=\frac{-1}{x(x+h)}\;\xrightarrow[h\to 0]{}\;-\frac{1}{x^2}$$

$f(x)=\sqrt{x}$（乘上共軛有理化）：

$$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}\;\xrightarrow[h\to 0]{}\;\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

所以 $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}$、$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$。用定義算導數每次都要跑極限，很累——第三章的微分法則會把這套流程封裝成直接套用的公式。

看得見的微積分：拋體的速度＝位置的導數

把一顆球以初速 $v_0$ 鉛直上拋，忽略空氣阻力時，高度是時間的函數：

$$y(t)=v_0 t-\tfrac{1}{2}g t^2$$

速度就是高度對時間的導數：

$$v(t)=\frac{dy}{dt}=v_0-g t$$

最高點正是「瞬時速度為零」的時刻：由 $v_0-gt=0$ 解得 $t=\dfrac{v_0}{g}$。到拋體運動模擬裡調整初速與角度，觀察速度如何隨時間遞減——你看到的正是導數。

不可微的三種情況

導數不是永遠存在。三種典型的「壞點」：

1. 尖角：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$——右邊割線斜率 $\dfrac{|h|}{h}=1$（$h>0$）、左邊是 $-1$（$h<0$），左右極限不相等，畫不出唯一切線。
2. 垂直切線：$f(x)=x^{1/3}$ 在 $x=0$——$f'(x)=\dfrac{1}{3x^{2/3}}$ 在 $x\to 0^+$ 趨於 $\infty$，切線立起來變垂直，斜率不存在（雖然曲線平滑地通過原點）。
3. 間斷點：函數在該點不連續，割線斜率根本無法收斂。

可微的地方一定連續；連續的地方卻不一定可微。「平滑」比「連得起來」更強。

線性近似：導數的第一個應用

切線是曲線在該點附近「最好的直線替身」。把切線方程式寫成函數：

$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

在 $a$ 附近 $f(x)\approx L(x)$。實際用一次：估 $\sqrt{25.3}$。取 $f(x)=\sqrt{x}$、$a=25$，則 $f'(25)=\dfrac{1}{2\sqrt{25}}=\dfrac{1}{10}$，

$$\sqrt{25.3}\approx 5+\frac{1}{10}(0.3)=5.03$$

真值 $\sqrt{25.3}=5.0299105\ldots$，誤差不到 $10^{-4}$——不用計算機，用一條切線。這個想法推到底，就是第十一章的泰勒級數：切線只是「一次逼近」，還可以二次、三次逼近下去。