導函數的圖形

坡度與導函數

騎腳踏車經過起伏的路段時，上坡費力，下坡輕鬆，在最高點有一瞬間路面水平。騎乘者感受到的不是所在的高度，而是路面的陡度。

將路面表示為函數 $y = f(x)$，每一個 $x$ 都有一條切線，切線斜率即上一課的導數 $f'(x)$。令 $x$ 由左向右移動，記錄每個位置的斜率，即得到新的函數：導函數。

本課不計算公式，只討論圖形。下面的小工具上圖是 $f(x) = x^3 - 3x$，下圖起初幾乎是空的：拖曳到哪裡，導函數就畫到哪裡。

函數與導函數圖形的對應

上述現象整理如下：

以下三點容易誤解：

上升與導數的方向。 若 $f'(x) > 0$ 在整個區間都成立，則 $f$ 在該區間遞增，此方向須用均值定理才能證明，於第 13 課說明。反向不一定成立：可微分的函數遞增時，只能保證 $f'(x) \ge 0$。例如 $f(x) = x^3$ 處處遞增，但 $f'(0) = 0$。

$f'$ 的高低和 $f$ 的高低無關。 $f(x)$ 和 $f(x) + 7$ 是同一條曲線上下平移，每個位置的斜率相同，所以導函數完全相同。由 $f'$ 推測 $f$ 時，只能確定形狀，無法確定高度。

$f' = 0$ 不一定是極值。 須檢查 $f'$ 在該點左右是否變號：由正變負是極大，由負變正是極小，兩側同號（都 $> 0$ 或都 $< 0$）則兩者皆非。$x^3$ 在 0 是兩側同號的例子。

尖點的例子是 $f(x) = \lvert x \rvert$：$x < 0$ 時 $f'(x) = -1$，$x > 0$ 時 $f'(x) = 1$，$x = 0$ 沒有導數，所以導函數的圖在 0 斷開。

由導函數推論函數

反之，僅由 $f'$ 的圖也能得知 $f$ 的許多性質：$f'$ 為正的區間 $f$ 上升，為負的區間 $f$ 下降，變號處為極大或極小。

須避免一個常見的錯覺：看到 $f'$ 的圖下降，便認為 $f$ 在下降。$f'$ 下降表示斜率變小，只要 $f'$ 仍為正，$f$ 依然上升，僅是上升較慢。決定 $f$ 升降的是 $f'$ 的正負，不是 $f'$ 的走向。

二階導數

$f'$ 也是函數，可以再微分一次，得到二階導數 $f''$。它描述斜率本身變化的快慢。

運動是最直接的例子。一輛接駁車在直線路段上往返，位置為 $s(t)$：

• 速度 $v(t) = s'(t)$：位置的變化率，正負代表方向
• 加速度 $a(t) = v'(t) = s''(t)$：速度的變化率

以下使用（示意的）位置函數 $s(t) = t^3 - 9t^2 + 24t$，$t$ 是分鐘，$s$ 是百公尺。微分得到

$$v(t) = 3t^2 - 18t + 24 = 3(t-2)(t-4)$$

$$a(t) = 6t - 18$$

車輛在 $t = 2$ 和 $t = 4$ 靜止並轉向。

速率是速度的絕對值，即車輛實際運動的快慢。此處最容易誤解：加速度為負不代表車輛變慢。須比較速度與加速度的方向：

原因是 $\frac{d}{dt}\lvert v \rvert = \frac{v}{\lvert v \rvert}\, a$（$v \ne 0$ 時）：$v$ 和 $a$ 同號時此值為正。倒車時踩油門，速度與加速度皆為負，車輛越來越快。

重點整理

• $f'$ 的值是 $f$ 的切線斜率：$f' > 0$ 的區間 $f$ 遞增，$f' < 0$ 的區間 $f$ 遞減
• 可微分函數遞增時只保證 $f' \ge 0$：$x^3$ 在 0 的導數是 0
• $f' = 0$ 須檢查左右是否變號，才能判斷為極大、極小或兩者皆非
• 由 $f'$ 只能推得 $f$ 的形狀，無法推得高度：$f$ 和 $f + C$ 的導函數相同
• $f''$ 是斜率的變化率；運動裡 $s' = v$、$v' = a$，$v$ 和 $a$ 同號時速率變大

接下來兩課不再回到定義，直接介紹微分法則，以求出 $f'$ 的算式。更完整的文字說明見優微積分讀本的導數的定義與幾何意義。