微分法則
冪次、乘積、商與連鎖律——把導數算得又快又對。
用定義算導數，每次都要跑一遍極限——太慢。本篇建立一套「微分的代數」：先背基本導數表，再用四條法則組裝，任何初等函數都能又快又對地微分。文末用 sympy 小工具驗算你的手算。
基本導數表
| $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|
| $c$（常數） | $0$ |
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
冪次法則對任何實數指數都成立：$\sqrt{x}=x^{1/2}$ 的導數是 $\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$、$\dfrac{1}{x}=x^{-1}$ 的導數是 $-x^{-2}$——上一篇用定義苦算的結果，一行取得。
常數倍與加減法則
$$(cf)'=c\,f',\qquad (f\pm g)'=f'\pm g'$$
多項式因此可以逐項微分：
$$\frac{d}{dx}\left(3x^4-2x+5\right)=12x^3-2$$
乘積法則
$$(fg)'=f'g+fg'$$
例：$\left(x^2\sin x\right)'=2x\sin x+x^2\cos x$。
最常見的錯誤：$(fg)'\neq f'g'$。反例一秒戳破：$f=x$、$g=x^2$，正解 $(x^3)'=3x^2$，錯解 $f'g'=1\cdot 2x=2x$——差一倍不止。
商法則
$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$
例（正是第二章那個函數）：
$$\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$
分子順序是「上微下不動 減 上不動下微」，背反了會差一個負號。
連鎖律
合成函數「函數裡還有函數」時：
$$\bigl(f(g(x))\bigr)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
口訣：外微內不動，再乘內微。
$$\frac{d}{dx}\sin(x^2)=\cos(x^2)\cdot 2x,\qquad \frac{d}{dx}e^{-x^2}=e^{-x^2}\cdot(-2x)$$
連鎖律是四條法則裡最重要、也最容易「漏乘內層導數」的一條——第四章的相關變率、第五章的換元積分，全都建立在它上面。
高階導數
把導數再微分：$f''$（二階）、$f'''$（三階）……例如 $(\sin x)''=-\sin x$。物理對應：位置 $\to$ 速度（一階）$\to$ 加速度（二階）。
隱函數微分
圓 $x^2+y^2=25$ 解不出單一的 $y=f(x)$，但把 $y$ 視為 $x$ 的函數、兩邊同時對 $x$ 微分：
$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$
不必解出 $y$，就能求任一點的切線斜率——注意 $y$ 那一項多乘的 $\dfrac{dy}{dx}$ 正是連鎖律。
動手驗算
手算 $\dfrac{d}{dx}\left[x^3\sin x\right]$（提示：乘積法則），再用下方工具對照 sympy 的精確答案。手算與機器一致，才算真的會了。