一階微分方程與指數律

存款利息、放射性衰變、RC 充放電、咖啡變涼——全是同一句話：「變化率正比於現量」。微分方程是用「變化的規律」描述世界的語言；解它，就是從規律還原出全程。

什麼是微分方程

含有未知函數及其導數的方程式，例如 $y'=ky$。注意：解是函數，不是數。

驗證解的概念：把 $y=Ce^{kx}$ 代入——$y'=kCe^{kx}=ky$ ✓。帶任意常數 $C$ 的解叫通解；給一個初始條件（如 $y(0)=3$）就把 $C$ 釘下來，得特解。

可分離變數法

形如 $\dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y)$ 的方程，把 $y$ 的東西搬左邊、$x$ 的搬右邊，各自積分：

$$\frac{dy}{dx}=xy\;\Longrightarrow\;\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Longrightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Longrightarrow\;y=Ce^{x^2/2}$$

（最後一步把 $e^C$ 吸收進新的 $C$。）這是一階方程最重要的一招。

指數成長與衰減

衰減：$\dfrac{dN}{dt}=-\lambda N$（減少的速率正比於現量）$\Rightarrow N=N_0e^{-\lambda t}$。

半衰期：解 $N_0e^{-\lambda t}=\dfrac{N_0}{2}$ 得

$$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}$$

關鍵性質：半衰期與現在有多少無關——每過 $t_{1/2}$ 就剩一半，這就是放射性定年（碳十四）的原理。

成長版：$\dfrac{dP}{dt}=kP\Rightarrow P=P_0e^{kt}$——人口模型、連續複利，同一條方程式。

看得見的微積分：RC 充電與牛頓冷卻

RC 電路充電：$R\dfrac{dq}{dt}+\dfrac{q}{C}=\varepsilon$，解為

$$q(t)=C\varepsilon\left(1-e^{-t/RC}\right)$$

電荷以指數方式逼近滿載，時間常數 $\tau=RC$ 決定快慢——到 RC 模擬調 $R$、$C$，曲線的「彎法」就是這條方程式。

牛頓冷卻：$\dfrac{dT}{dt}=-k(T-T_{\text{env}})$，解為

$$T(t)=T_{\text{env}}+(T_0-T_{\text{env}})e^{-kt}$$

咖啡溫度以指數逼近室溫——跟 RC 充電是同一個數學。放射性衰變模擬則讓你直接「看」半衰期。

斜率場：不解也能看

在平面每一點畫一支小箭頭，方向是該點的 $\dfrac{dy}{dx}$——解曲線就是順著箭頭走出來的路徑。遇到解不出來的方程（多數如此），斜率場讓你先「看見」解的長相。

這只是開始

本章的可分離變數是最簡單的一類；二階線性微分方程（振動、共振、RLC）在第十七章。用下方工具畫 $e^{-x}$ 感受指數衰減：起初掉得快、之後越來越慢，永遠不真正歸零。